Бразильская олимпиада для девочек

[wpoms.]

Первая олимпиада была проведена в 2019 году. К участию в ней были приглашены участницы, показавшие хорошие результаты в 2018 году в финалах национальной и / или региональных олимпиад.

1. На занятии по представлениям Зеленоглазка обнаружила, что числа 1, 3 и 5 можно представить в виде разности квадратов двух последовательных натуральных чисел: $1 = 1^2 - 0^2,$ $3 = 2^2 - 1^2,$ $5 = 3^2 - 2^2.$

a) Покажите, что все натуральные числа вида $2 \ast m + 1$ можно представить в виде разности квадратов двух последовательных натуральных чисел.
b) Найдите значение выражения $E = 1 + 3 + 5 + ... + (2m + 1).$
c) Зеленоглазка, воодушевленная своими открытиями, решила узнать сколькими различными способами можно представить число 2019 в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Сколькими способами это может быть сделано?

2. Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $BC$ и центром вписанной окружности $I.$ Биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $D$ и $E,$ соответственно. Пусть $P$ и $Q$ --- основания перпендикуляров, опущенных из точек $D$ и $E$ на сторону $BC.$ Докажите, что $I$ является центром описанной окружности треугольника $APQ.$

Напоминание: центр вписанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его биссектрис, а центр описанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения срединных перпендикуляров его сторон.

3. Назовем натуральное число $N$ правильным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

- Все цифры числа равны 1 или 2;
- Все числа, образованные 3 последовательными цифрами числа $N,$ различны.

Например, число 121222 является правильным, так как 4 числа, образованных 3 последовательными цифрами числа 121222 (121, 212, 122 и 222), различны. Число 12121 не является правильным.

Какое наибольшее количество цифр может быть в правильном числе? Найдите наибольшее правильное число.

4. Натуральное число $n$ называется подходящим, если существует натуральное число $m$ такое, что $m!$ оканчивается ровно на $n$ нулей.

a) Является ли число 2019 подходящим?
b) Определите количество подходящих чисел меньших 2019.

5. Дан треугольник $ABC$ ($AB = AC$). Точки $X$ и $K$ лежат соответственно на $AC$ и $AB,$ при этом $KX = CX.$ Биссектриса $\angle AKX$ пересекает прямую $BC$ в точке $Z.$ Докажите, что $XZ$ проходит через середину $BK.$

Сайт олимпиады: www.tm2.org.br

1

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Дилетант]