На листе бумаги написана система уравнений $x^2\ ?\ z^2 = -8,$ $y^2\ ?\ z^2 = 7,$ но два символа размыты. Известно, что система имеет хотя бы одно решение и вместо знаков вопроса были написаны или + или -. Что было написано на листке? |  |
Дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD.$ Прямая $l_1,$ параллельная $BC,$ проходит через $A$ и прямая $l_2,$ параллельная $AD,$ проходит через $B.$ Прямая $DC$ пересекает $l_1$ и $l_2$ соответственно в точках $E$ и $F.$ Перпендикуляр к $l_1$ в точке $A$ пересекает $BC$ в $P$, перпендикуляр к $l_2$ в точке $B$ пересекает $AD$ в $Q.$ Окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ описывают соответственно треугольники $ADE$ и $BFC.$ Покажите, что $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ касаются в том и только том случае, когда прямая $DP$ перпендикулярна $CQ.$ |  |
В таблицу $n \times n$ записаны строка за строкой, сверху вниз, по порядку слева направо, числа от 1 до $n^2.$ За одну операцию можно взять два числа, написанных в имеющих общую сторону ячейках таблицы, прибавить (или отнять) к ним одно и тоже целое число и записать результаты в таблицу. На рисунке показано применение двух операций к таблице $4 \times 4$: вычитания 7 и прибавления 5 к выделенным цветом ячейкам.  Определите, для каких $n$ возможно получить во всех ячейках таблицы число 0 после применения необходимого количества описанных выше операций и определите, если это возможно, наименьшее количество требуемых для достижения результата операций. | |
Скажем, что неотрицательное целое число $n$ "содержит" другое неотрицательное целое число $m,$ если цифры десятичной записи последнего последовательно присутствуют в десятичной записи числа $n.$ Например, число 2016 содержит числа 2, 0, 1, 6, 20, 16, 201 и 2016. Найдите наибольшее целое число $n,$ не содержащее ни одного кратного числа 7. | |
Найдите наименьшее действительное число $x,$ удовлетворяющее условиям: $[x] < [x^2] < [x^3] < ... < [x^n] < [x^{n+1}] < \ldots$ Замечание: Число $[x]$ является целой частью числа $x,$ если оно наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $[x] \leq x < [x]+1.$ | |
Пару целых положительных чисел $m, n$ назовем воинственной, если существуют целые положительные числа $a, b, c, d$ такие, что $m = ab,$ $n = cd$ и $a + b = c + d.$ Например, пара 8, 9 является воинственной, так как $8 = 4 \cdot 2,$ $9 = 3 \cdot 3$ и $4 + 2 = 3 + 3.$ Будем окрашивать положительные целые числа следующим образом: - Начнём окрашивание с чисел 3 и 5. - Далее, если любое положительное целое число еще не покрашено, но оно входит в одну из уже окрашенных воинственных пар, то мы его красим. И так далее. Найдите все целые положительные числа, которые в конечном счете будут окрашены. | |
Покажите, что для всех положительных действительных чисел $x$ выполняется неравенство $[nx] \ge \sum\limits_{1}^{n} \left( \frac{[kx]}{k} \right)$. |  |
Дан выпуклый $n$-угольник. Каждая его вершина соединена с точкой $P,$ не лежащей в его плоскости. Смежные вершины $A, B, C$, вместе с точкой $P,$ определяют плоскости $PAB$ и $PBC$. Рассмотрим угол между этими плоскостями. Сумма $n$ таких углов равна сумме $n$ углов многоугольника. Покажите, что $n=3$. | |
