У Георга есть доска, на которой написаны числа от 1 до 50. Георг может вычеркнуть число, если оно может получено из числа 2 с помощью нескольких операций, каждая из которых есть либо умножение на 10 либо вычитание 3. Какие числа может вычеркнуть Георг? Пример: Георг может вычеркнуть 26 так как оно может быть получено из 2 умножением на 10, вычитанием 3 три раза, умножением на 10 и вычитанием 3 двадцать восемь раз.  |  |
Пусть $A,B$ и $C$ --- внутренние точки сферы $S$ такие, что $AB$ и $AC$ перпендикулярны диаметру $S$, проходящему через $A,$ и пусть можно построить две сферы, проходящие через точки $A$, $B$, и $C$, такие, что они касаются сферы $S$. Докажите, что сумма радиусов двух этих сфер равна радиусу $S$. |  |
Докажите, что существует такое натуральное число `k`, что `k * 2^n + 1` является составным для любого натурального числа `n`. | |
1
Пусть точка $A_1$ лежит внутри равностороннего треугольника $ABC$, а точка $A_2$ лежит внутри $\triangle{A_1BC}$. Докажите, что $I.Q. (A_1BC) > I.Q.(A_2BC),$ где I.Q. — изопериметрическое отношение. I.Q. фигуры $F$ определяется как $I.Q.(F) = \frac{Area (F)}{[Perimeter (F)]^2}$ | |
Первая олимпиада была проведена в 2019 году. К участию в ней были приглашены участницы, показавшие хорошие результаты в 2018 году в финалах национальной и / или региональных олимпиад.1
Пусть $S_r = x^r + y^r + z^r$, где $x, y, z$ — действительные числа. Известно, что если $S_1=0$, $(*)$ $\frac{S_{m+n}}{m+n} = \frac{S_m}{m} * \frac{S_n}{n}$ для $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$ или $(5,2)$. Определите все остальные пары целых чисел $(m,n)$, если они существуют, такие, что $(*)$ выполняется для всех действительных чисел $x,y,z$, таких, что $x+y+z=0$. | |
