Дан выпуклый $n$-угольник. Каждая его вершина соединена с точкой $P,$ не лежащей в его плоскости. Смежные вершины $A, B, C$, вместе с точкой $P,$ определяют плоскости $PAB$ и $PBC$. Рассмотрим угол между этими плоскостями. Сумма $n$ таких углов равна сумме $n$ углов многоугольника. Покажите, что $n=3$. |  |
Покажите, что для любого треугольника выполняется неравенство $\frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \sin(3A) + \sin(3B) + \sin (3C) \ge -2.$ Когда достигается равенство? | |
Чему равно наибольшее количество городов при выполнении следующих критериев. Каждая пара городов связана ровно одним авиа, автобусным или железнодорожным маршрутом. По крайней мере одна пара городов связана авиарейсом, по крайней мере одна пара связана автобусным маршрутом, по крайней мере одна пара городов связана железной дорогой. Ни один город не связан с какими-то другими тремя городами и авиарейсом, и автобусным маршрутом и железной дорогой. Нет трёх городов $A, B, C$ таких, что все они связаны одним и тем же видом транспорта. | |
Пусть $n$ не является кратным $3.$ Докажите, что угол $\frac{\pi}{n}$ можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. | |
Окружности $C_1$ и $C_2$ касаются внешним образом в точке $S$ и радиус $C_2$ в три раза больше радиуса $C_1.$ Пусть прямая $l$ касается $C_1$ в точке $P$ и касается $C_2$ в точке $Q,$ точки $P$ и $Q$ отличны от $S.$ Точка $T$ лежит на $C_2$ и $TQ$ --- диаметр $C_2$, точка $R$ лежит на биссектрисе угла $\angle SQT$ и на отрезке $ST.$ Докажите, что $QR = RT.$ |  |
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $E$ так, что $AC = EC.$ На прямой, проходящей через $C$ параллельно $AE$, взята точка $F$ такая, что `/_ BAE = /_ EAF.` Докажите, что прямая $EF$ пересекает отрезок $AB$ в его середине. |  |
