Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Математическая олимпиада в Армении
Республиканская олимпиада школьников по математике Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный. Отличает от других олимпиад наличие двух вариантов --- А и Б. Задания последнего более простые. Финал для варианта Б проводится на пару недель раньше финала для варианта А и его победители и призеры получают возможность принять участие в финале для варианта А. Республиканская олимпиада: задачи |  |
-
-
14.02.2020 в 15:001. (12 класс) Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2018} + x - a^2$ ($a$ - действительное число). Докажите, что уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет по крайней мере один действительный корень.
обсуждение
2. Вписанная окружность треугольника $ABC$ с центром $I$ касается соответственно сторон $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Прямая $CI$ пересекает повторно описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P$, прямая $EF$ пересекает $CP$ в точке $T$ такой, что $PT= TI$. Найдите `/_ ABC`.
обсуждение
3. На координатной плоскости даны точки $A_1, A_2 , \ldots, A_n$ с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Пару $(A_i, A_j)$ назовем интересной, если обе координаты середины отрезка $A_iA_j$ являются целыми числами. Найдите наименьшее возможное количество интересных пар.
обсуждение
4. Пусть числа `a, b, c` удовлетворяю равенствам `b=(a+c)*(a+1)`, `a=(b+c)*(c+1})`, `c=(a+b)*(b+1)`. Найдите все возможные значения выражения `(a+1)*(b+1)*(c+1)`.
обсуждение
5. Пусть `a,b,c > 0` и `abc \ge 1`. Докажите, что `(1)/(a^2+2b^2+3) + (1)/(b^2+2c^2+3) + (1)/(c^2+2a^2+3) \le 1/2.`
обсуждение
6. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $E$ так, что $AC = EC.$ На прямой, проходящей через $C$ параллельно $AE$, взята точка $F$ такая, что `/_ BAE = /_ EAF.` Докажите, что прямая $EF$ пересекает отрезок $AB$ в его середине.
обсуждение