Обобщенная производная

[MisteryS]

Найти обобщенную производную от `|x|^(alfa)`, где `(alfa)>0`.

Я открыла модуль и нашла производные на каждом из двух промежутков. А потом доказывала, что эти производные и будут обобщенными производными на соответствующих промежутках. А так же использовала определение обобщенной производной (через интеграл).

Проверьте, пожалуйста, всё ли я верно объяснила. После применения формулы интегрирования по частям `phi` обратилось в 0 в силу финитности, да?

@темы: Производная, Функциональный анализ

Comments

[All_ex]

насколько я понимаю, выражение `x^{alpha}` не определено при отрицательных иксах...

[MisteryS]

All_ex, почему? если (-2)^4?

[All_ex]

а если `(-2)^{\sqrt{2}}` или `(-2)^{1/2}`?...

[MisteryS]

All_ex, в таком случае, конечно, нельзя, чтобы x был отрицательным. Тогда рассмотреть только случай неотрицательных иксов?

[All_ex]

думаю, что не надо выносить минус один в отдельный множитель, а дифференцировать как сложную функцию...

[MisteryS]

All_ex, так?

и надо уточнить, что во втором случае альфа - это или целое положительное нечетное число или несократимая дробь вида m/n, где n - целое нечетное, ну и m не делится на n (бред какой-то)?

[All_ex]

ну, как-то так...
только наверное надо писать изначально интеграл по всей оси... расписывать его в сумму двух интегралов... и каждый в отдельности преобразовывать...
"я так думаю"(с) ...

[All_ex]

что во втором случае альфа - это или целое положительное нечетное число или несократимая дробь вида m/n, где n - целое нечетное, ну и m не делится на n (бред какой-то)?
это зачем?... ведь `(-x) > 0` ...

[MisteryS]

All_ex, ведь `(-x) > 0` - а...точно! СПасибо!!!! ОГРОМНОЕ!!!

[All_ex]

welcome...

[MisteryS]

All_ex, здравствуйте! Это снова я. Преподаватель проверил это задание и написал мне следующее:
"В задаче 2 надо было доказать, что функция g(x)=g_1(x) при x>0, g(x)=g_2(x) при x<0 является обобщенной производной от f на (-\infty, \infty)

То, что g_является обобщенной производной от f на (0, \infty) и g_2 является обобщенной производной от f на (-\infty,0),это, конечно, верно, но это общий факт, следующий из того, что f непрерывно дифференцируема на

(0,\infty) и на (-\infty,0) (но не на (-\infty,\infty)).".

Только я не пойму, как исправить решение....

[All_ex]

доброго времени...

мне тоже не сильно понравилось то, что Вы случаи икс больше/меньше нуля рассматривали по отдельности... но думал может это у Вас так принято...

Вам надо было писать это одновременно...
`int_{-\infty}^{+\infty} |x|^{\alpha} * \phi(x) dx = `int_{-\infty}^{0} |x|^{\alpha} * \phi(x) dx + `int_{0}^{+\infty} |x|^{\alpha} * \phi(x) dx = ...`
и уже после делать вывод...

[MisteryS]

All_ex, ну, в общем, даже если написать всё это одновременно, как вы сказали, то получается что-то вроде этого (это моё старое решение)

и если потом опять вернуться к сумме интегралов, то как это потом объединить в один интеграл от минус бесконечности до бесконечности? Разве это возможно?

[All_ex]

ну, там составная функция будет записана...

[All_ex]

можно наверное даже как-то так `f' = {\alpha * |x|^{alpha}}/x` ...

[MisteryS]

All_ex, Капец....всё гениальное просто. Куда смотрели мои глаза, раз не увидели эту очевидность!? Легко же. 🙈🙈🙈🙈😅😅
Спасибо 😅😅😅
Иногда всё значительно проще, чем кажется😅😅

[All_ex]

и снова welcome...