линейное однородное дифференциальное уравнение 3-го порядка

[...Полярная Звезда...]

здравствуйте
найти общее решение уравнения x*y''' + 3*y'' - x*y' - y=0, если известны его частные решения y1=1/x , y2=(e^x)/x
если y1 и y2 линейно независимы, то общее решение выглядит y=y1C1+y2C2 => y=C1/x + (C2*e^x)/x
y1 и y2 линейно независимы если их отношение не равно константе
правильно ли я рассуждаю? мне кажется слишком легко решается, и правильно ли я проверяю линейную независимость решений?

@темы: Дифференциальные уравнения

---

Cистема дифференциальных уравнений

[uljana45]

x'=2x+y+2e^t
y'=x+2y-3e^4t

решение

det A = (2-k)(2-k)-1=0
k^2-4k+3=0
k1=3; k2=1

1) k1=3;
2-3 1
1 2-3

-n1+m1=0
n2-m2=0

n1=m1; n1=1, m1=1

x1=e^3t; y1=e^3t

2) k2=1;
2-1 1
1 2-1

n1+m1=0
n2 +m2=0

n1=-m1
n2=-m2; n1=1, m1=-1

x2=e^t; y2=-e^t

x=C1e^3t+C2e^t
y=C1e^3t-C2e^t

1) x21=Ae^t
y21=Be^t

A=2A+B+2
B=A+2B
A=2A+A+2B+2
A=3A+2B+2
A=-B-1
B=-B-1+2B
B=B-1
B-B=-1

Подскажите, пожалуйста, в чем ошибка?

@темы: Дифференциальные уравнения

---

Уравнение

[Oliphaunt]

Есть уравнение вида
`(3/(3-x))+((x^2)/(x^2-6x+9))=1`


единственное что я поняла это то что следующей строку можно записать в виде:

`(3/(x-3)(x-3))+((x^2)/(x-3)(x-3))=1/(x-3)(x-3)`

как мне это получить? верно ли я записала вторую строку? потому, что если да, то я могу перемножить все уравнение на /*`(x-3)(x-3)`?
у меня останется уравнение вида `3+x^2=1`?
хотя если верить ответу в конце книги то решения нет.

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

---

Полезные материалы

[VEk]

В сети найден интересный сайт mathus.ru/math/index.php, ведет сайт И. В. Яковлев.
На сайте размещены материалы о подготовке к ЕГЭ, олимпиадам ВУЗов и математическим олимпиадам для школьников (5-7 и 8-11 классы). Материалы интересные, задачи собраны по темам, в каждом файле имеется разбор нескольких задач и большое количество задач для самостоятельного решения. Имеются также материалы базового курса для школьников с разбором меодов решения задач.
Кроме математики имеется большой раздел по физике, в котором также присутствуют материалы как для подготовки к олимпиадам, так и для подготовки к ЕГЭ.

Сайт можно рекомендовать как школьникам, интересующимся указанными аспектами, так и учителям, работающим со школьниками.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Олимпиадные задачи

---

Теория вероятностей

[portugal1]

В магазин поступают телевизоры с трех заводов. 1-й завод поставляет 30% всего Объёма реализации, 2-й завод - 50%, 3-й - 20%. В продукции первого завода 85% телевизоров являются качественными, в продукции второго 90%, а у треетьего завода качественными являются 95%. Покупатель случайным образом покупает телевизор. Определить вероятность, что купленный телевизор имеет дефекты.

@темы: Теория вероятностей

---

Нормальный закон распределения

[alligator76]

Вес поросенка есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. Установлено, что математическое ожидание этой случайной величины равно 60 кг, а дисперсия равна 25 кг. Найти значение веса, выше которого находятся только 5% поросят.
Я рассуждаю так:
`a=60`
`sigma=sqrt(D)=sqrt(25)=5`

Т.к. выше искомого веса находятся только 5% поросят, остальные 95% поросят находятся ниже этого веса, поэтому:
`P(|X-60|<delta)=2 Phi (delta/5)=0,95`
`Phi (delta/5)=0,475`
`delta/5=1,96`
`delta=9,8`
Тогда:
`|X-60|<9,8`
`50,2<(X)<69,8` - в этих пределах лежит вес 95% поросят.
Но ведь вес оставшихся 5% поросят может быть как выше 69.8 кг, так и ниже 50.2 кг.
Может быть, в самом начале нужно брать не 0,95, а 0.9? Т.е.
`P(|X-60|<(delta))=2 Phi (delta/5)=0,90`
Как можно правильно это объяснить?

@темы: Теория вероятностей

---

Аксиоматика Пеано

[altevg]

Всем доброго времени суток!
Что будет если из аксиоматики Пеано выкинуть аксиому индукции? Я правильно понимаю, что, например, такая "штука" удовлетворяет первым 3 аксиомам но не является мн-вом нат. чисел?
1->4->5->...
2->3->2...

@темы: Математический анализ, Метод математической индукции, Множества

---

[mkutubi]

Англо-русский словарь математических терминов / Ред. акад. П. С. Александров - Изд-во Иностранной Литературы, 1962, 372 c. Англо-русский словарь математических терминов составлен коллективом специалистов-математиков под общей редакцией редколлегии под председательством акад. П. С. Александрова. (djvu) natafriends.org || ya.disk

Мантуров О.В. и др. Толковый словарь математических терминов - Просвещение, 1965, 540 c. Предлагаемая читателю (и прежде всего советскому учителю) книга имеет целью собрать многочисленные и наиболее важные термины математики и дать их современное толкование. (djvu) natafriends.org || ya.disk

Бонус: Нобель, премия, Алексиевич, Меч и пламя революции

Алексиевич: Российская молодежь - такие же рабы, как их родители
russian.rt.com/inotv/2015-11-06/Aleksievich-Ros...

@темы: Литература

---

Про подобие

[wpoms.]

Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A` и `AB < AC`. Точка `M` - середина `BC`, а точка `D` - точка пересечения отрезка `AC` и перпендикуляра к `BC`, проходящего через `M`. Точка `E` - точка пересечения прямой, параллельной `AC` и проходящей через точку `M`, и перпендикуляра к `BD`, проходящего через `B`. Докажите, что треугольники `AEM` и `MCA` подобны тогда и только тогда, когда угол `ABC` равен шестидесяти градусам.

@темы: Планиметрия

---

[shef105x]

Пожалуйста помогите, с чего начать, у меня вот такая задача. Составить уравнение линии, каждая точка которой удалена от точки A(7;2) вдвое дальше, чем от точки B(-1;3)

@темы: Аналитическая геометрия

---

Euclidea

[kostyaknop]

На случай, если местные люди не в курсе - прекрасная вещь на тему "геометрические построения":

www.euclidea.xyz

Для имеющих iPhone/iPad есть мобильное приложение (у него немного другой интерфейс, но зато там уже версия 2.0, в которой больше задач).
Задач реально много, и среди них есть реально очень крутые.

Педагогически очень хорошо сделано "прохождение уровней": чтобы пройти, достаточно предъявить какое угодно решение, но при этом вы получаете только одну звезду из трех возможных.
При прохождении за лучшее (минимально известное) число элементарных геометрических шагов (E) - вторая звезда.
При прохождении с лучшим известным числом шагов использования "инструментов" (L) - третья звезда. Инструментами там сделаны стандартные геометрические построения типа серединного перпендикуляра, биссектрисы, параллельной прямой и т.д. При этом ДО активации инструмента приходится решать каждую такую задачу в элементарных шагах.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Планиметрия, Интересная задача!, В помощь учителю

---

Задача на дифференциальные уравнения

[IWannaBeTheVeryBest]

Задача такая.
"Написать уравнение кривой, проходящей через точку M(0; 4), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат".
Проблема в том, что здесь столько БУКАФ, что я ничего не могу себе представить. У меня ощущение, что создатели этой задачи специально хотят усложнить ее тупо таким текстом, что ее фиг представишь. Вот что это? "что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью..." Как отрезок может отсекаться отрезком?? Это как? Этот отрезок от 0 до какого-то "а" или от 4 до "а"?
В общем-то все остальное конечно понятно, но представить я это просто не могу. Ну конечно же мне надо найти такую кривую, поэтому, теоретически, я и не должен ее себе представлять. Что делать? Или есть какой-то аналитический шаблон?

@темы: Математический анализ, Дифференциальные уравнения

---

[Trotil]

Практическая задачка.

Было в тексте 1000 символов.
(условимся, что все символы в тексте разные).

Удалили 300 символов.
Затем написали 100 новых символов (не встречающихся в изначальном тексте).

На сколько процентов изменился текст?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Игра

[wpoms.]

Нельсон предложил Тельме поиграть в такую игру: Тельма стирает `2^9` чисел из множества `{0,1, 2, 3, ..., 1024}`, затем Нельсон стирает `2^8` чисел, после этого Тельма стирает `2^7` чисел и так далее пока не останутся только два числа. По завершении игры Нельсон выплачивает Тельме разницу между этими двумя числами в евро. Какую наибольшую сумму может выиграть Тельма вне зависимости от стратегии Нельсона?

@темы: Дискретная математика

---

Соловьев Ю. П. Задачи по алгебре и теории чисел для математических школ

[pemac]

Соловьев Ю. П.
Задачи по алгебре и теории чисел для математических школ (в 3-х частях)
М.: Школа имени А. Н. Колмогорова, 1999, часть 1 - 80 с., часть 2 - 84 с., часть 3 - 52 с.

Настоящая книга представляет собой сборник задач по алгебре и элементам теории чисел для учащихся школ с углубленным изучением математики. Основу сборника составляют задачи, предлагавшиеся в физико-математической школе имени А. Н. Колмогорова при Московском государственном университете. Книга содержит около 2000 задач различного уровня сложности, знакомство с которыми несомненно будет полезным не только школьникам, но и студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов. Большинство задач в сборнике не оригинальны - они заимствованы из различных задачников и руководств по алгебре и теории чисел, из математических журналов. Однако многие из этих руководств и задачников издавались очень давно и почти недоступны - в различных смыслах этого слова - нынешним учащимся.

Кто-нибудь может помочь?
Я благодарен за любую помощь.

@темы: Поиск книг

---

Построить отношение на множестве

[Кошка]

Всем добрый день!

Есть множества:

`S = {a, v, d, k, o, p, r, s, u, y}`
`T = {a, g, l, o, y}`

и третье, являющееся их объединением:

`A_1 = S uu T = {a, v, g, d, k, l, o, p, r, s, u, y}`

Надо построить такое отношение R на множестве `A_1`:

`(а_11 in А_1; а_12 in А_1) Rightarrow (а_11 R а_12 Leftrightarrow ((а_11 in S; а_12 in T) uu (а_11 in S; а_12 in T)))`

Это в точности то, что у меня сейчас есть, и условие пока уточнить не могу. Я не понимаю, зачем там значок следования после указания, что оба элемента принадлежат множеству `A_1`. Но допустим, что первая часть записана верно.

Вопрос: для построения отношения тут, скорее всего, имеется в виду, что:

1) условие, при котором между элементами `а_11` и `a_12` имеется отношение R, надо упростить и получить:

`(а_11 in А_1; а_12 in А_1) Rightarrow (а_11 R а_12 Leftrightarrow (а_11 in S; а_12 in T))`

или

2) тут, видимо, перепутаны индексы и должно быть что-то вроде:

`(а_11 in А_1; а_12 in А_1) Rightarrow (а_11 R а_12 Leftrightarrow ((а_11 in S; а_12 in T) uu (а_12 in S; а_11 in T)))`

с 12 перед 11 во второй части условия (иначе зачем она вообще нужна)?

@темы: Бинарные отношения, Дискретная математика

---

Условный экстремум функции при заданном уравнении связи.

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Вообще мне попалась задачка несколько по-сложнее. Дело в том, что она текстовая и нет явной функции и уравнения связи. Вот задача.
"В заданный шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема." Собственно все.
Мои действия. Если требуется вписать параллелепипед наибольшего объема, то надо найти максимум этого объема или максимум функции `f(x, y, z) = xyz`
Уравнение связи. Здесь, как я полагаю, нам надо описать радиус шара, но так как нам дан еще и параллелепипед, то я подумал, что как-то через стороны надо выражать этот объем. Думаю, что уравнение связи должно быть таким
`(4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 = (4/3) * pi * R^3`
В итоге, функция Лагранжа, будет выглядеть так:
`L = xyz + \lambda * ((4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 - (4/3) * pi * R^3)`
Это верно? Или я что-то не так делаю? Просто если так, то там такие некрасивые получаются уравнения в системе... Лучше бы это было неправдой, чем возиться со всем этим решением. Заранее спасибо))

@темы: Математический анализ

---

[Amicus Plato]

Сегодня исполняется 200 лет со дня рождения Джорджа Буля!
Гугловский дудл по этому замечательному поводу:

Топик про Джорджа Буля в сообществе:

Буль, Джордж (англ. George Boole; 2 ноября 1815 — 8 декабря 1864)

@темы: История математики, Люди

---

Вопрос по пределам

[Груша Вильямс]

Верны ли следующие утверждения? Почему?

1) Если бесконечно малая `alpha(x) ~~ beta(x)`, `x->a`, то для любой функции `f(x)`, имеющей предел в точке `a`, справедливо `lim_(x->a) (f(x)+alpha(x))=lim_(x->a) (f(x)+beta(x))`.

2) Если `alpha(x) ~~ beta(x)`, `x->a`, то для любой функции `f(x)` , имеющей предел в точке `a`, справедливо `lim_(x->a) (f(x)*alpha(x))=lim_(x->a) (f(x)*beta(x))`.

@темы: Пределы

---

Привести примеры операторов

[kanoChan]

Привести примеры операторов в заданных пространствах:
`1) C[0,2) -> C[0,2]`
`2) m -> C[0, infty)`, где `m`-пространство ограниченных последовательностей

В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
А по второму ничего не могу сказать...

Подскажите, пожалуйста, как действовать в таких заданиях?

@темы: Функциональный анализ