воскресенье, 01 ноября 2015
18:58

Привести примеры операторов

все записи пользователя в сообществе kanoChan
Привести примеры операторов в заданных пространствах:
`1) C[0,2) -> C[0,2]`
`2) m -> C[0, infty)`, где `m`-пространство ограниченных последовательностей

В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
А по второму ничего не могу сказать...

Подскажите, пожалуйста, как действовать в таких заданиях?

@темы: Функциональный анализ

URL
Комментарии
01.11.2015 в 21:21

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
Ну, таких примеров много... например, возведение функции в квадрат... или умножение на какую-нибудь непрерывную функцию ...

Во втором ... ну, возьмите какой-нибудь сходящийся степенной ряд, например, от экспоненты.... умножьте слагаемые на элементы последовательности...
URL
01.11.2015 в 21:32

kanoChan
Таким образом, для первого пойдет и `(Ax)(t)=(x(t))^2` ?
А для второго, `(Ax)(t)=sum_{n=1}^{infty} (x(t))^n/(n!)*x_n(t)`, где `x_n(t)` - элементы последовательности ?
URL
01.11.2015 в 21:41

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
где `x_n(t)` - элементы последовательности ?
Я думал, что у Вас используются числовые последовательности... :upset:
Ну, хотя не суть... всё равно ряд должен получится равномерно сходящимся...

Почему Вы `(x(t))^n` пишите, если икс в Ваших обозначениях это последовательность... там что-нибудь иное должно стоять...
URL
01.11.2015 в 21:46

kanoChan
Я думал, что у Вас используются числовые последовательности... - да, числовые конечно
тогда так, `(Ax)(t)=sum_{n=1}^{infty} y_n*(x(t))^n/(n!)` , где `y_n` - элементы последовательности?

И по первому примеру - правильно написал? :)
URL
01.11.2015 в 21:55

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И по первому примеру - правильно написал?
вроде, да ...

тогда так, `(Ax)(t)=sum_{n=1}^{infty} y_n*(x(t))^n/(n!)`, где `y_n` - элементы последовательности?
Если у Вас оператор действует из пространства `m`, то почему пишите `Ax`?... ведь последовательность у Вас это игрек?
URL
01.11.2015 в 22:02

kanoChan
ведь последовательность у Вас это игрек - мм, тогда `(Ay)`...

А вот по первому, можете объяснить суть подбора примера, смущает отображение из интервала в отрезок... И, если можно, еще пример какой-нибудь :upset:
URL
01.11.2015 в 22:14

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А вот по первому, можете объяснить суть подбора примера, смущает отображение из интервала в отрезок... И, если можно, еще пример какой-нибудь
Хм... я этого не заметил... тогда такой пример (с возведением в квадрат) не пройдёт, так как функция может быть неограниченной на правой границе...
Возьмите тогда. например, оператор умножения на какую-нибудь функцию... и укажите функцию, доставляющую оператору нужные свойства...

мм, тогда `(Ay)`...
А что у Вас при этом обозначено за икс?...
URL
01.11.2015 в 22:27

kanoChan
Возьмите тогда. например, оператор умножения на какую-нибудь функцию... и укажите функцию, доставляющую оператору нужные свойства...
такой может, `(Ax)(t)= int_0^2 x(t) dF(t), F(0)=0`, `F(t)` - непрерывна слева на `[0,2)` ?
А что у Вас при этом обозначено за икс?... - а здесь уже запутался...
URL
01.11.2015 в 22:33

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а здесь уже запутался... - просто уберите лишнее...

такой может, - А Вы уверены, что интеграл будет сходится?...
URL
01.11.2015 в 22:41

kanoChan
просто уберите лишнее... - `(Ay)=sum_{n=1}^{infty} y_n*x^n/(n!)` ?
А Вы уверены, что интеграл будет сходится?... - нет... лучше тогда брать не интеграл, хорошо...
оператор умножения на какую-нибудь функцию... и укажите функцию, доставляющую оператору нужные свойства... - я так понимаю произведение двух непрерывных функций?
URL
01.11.2015 в 22:46

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
просто уберите лишнее... - `(Ay)=sum_{n=1}^{infty} y_n*x^n/(n!)` ?
Уже лучше... но роль икса всё равно не раскрыта... :)

лучше тогда брать не интеграл...
Я этого не говорил...

я так понимаю произведение двух непрерывных функций? - Эммм... я о свойствах результирующей функции (`in C[0;2]`) ...
URL
01.11.2015 в 22:53

kanoChan
но роль икса всё равно не раскрыта...:upset:
Я этого не говорил... - значит можно брать интеграл ;)
Но можно ли взять тот, который я написал (на самом деле я написал интеграл от теоремы об общем виде функционала в пространстве `C[a, b]` (теорема Ф.Рисса))
URL
01.11.2015 в 23:05

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но можно ли взять тот, который я написал
Можно, если правильно укажите свойства ядра оператора...

но роль икса всё равно не раскрыта...:upset:
Что у Вас является аргументом функции, которая получается как образ оператора?...
URL
01.11.2015 в 23:17

kanoChan
Что у Вас является аргументом функции, которая получается как образ оператора?... - `x` и является?
Можно, если правильно укажите свойства ядра оператора... - ядром `int_0^2 x(t) dF(t)` будет `x(t)` ?
URL
01.11.2015 в 23:22

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`x` и является?
Это у Вас надо спросить... :nope:Вы же обозначения вводите...
При этом раньше всё время писали аргумент образа при введении оператора... а тут перестали ...

ядром `int_0^2 x(t) dF(t)` будет `x(t)` ? - нет... это аргумент самого оператора...
Ядро - это функция, на которую умножаете аргумент под интегралом...
URL
01.11.2015 в 23:25

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`int_0^2 x(t) dF(t)` - кстати, зачем так сложно... `int_0^2 x(t) * f(t) * dt` - попроще для восприятия... и больше похоже на скалярное произведение из теоремы Рисса...
URL
01.11.2015 в 23:32

kanoChan
- попроще для восприятия... - ну здесь тогда ядро это `f(t)`. Осталось теперь перечислить свойства `f(t)`...
URL
01.11.2015 в 23:35

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Осталось теперь перечислить свойства `f(t)`...
разумеется... :bud:
URL
01.11.2015 в 23:39

kanoChan
`f(0)=0` - правильно?
URL
01.11.2015 в 23:42

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`f(0)=0` - правильно? - зачем это?... :upset:
Вы какие неприятности исходного аргумента должны побороть?...
URL
01.11.2015 в 23:43

kanoChan
Вы какие неприятности исходного аргумента должны побороть?... `[0,2)`- двойку, не входящую в промежуток
URL
01.11.2015 в 23:50

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`[0,2)`- двойку, не входящую в промежуток - ну. и?... как бороть будете?... :)
URL
01.11.2015 в 23:52

kanoChan
как бороть будете? - может каким-либо видом непрерывности функции `f(t)`?
URL
02.11.2015 в 00:00

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
видом непрерывности - это какой-то новый термин... сами придумали?... :)

У Вас есть функция `x(t)`, которая непрерывна на полуоткрытом множестве... и может быть неограниченной на границе...
Значит, интеграл имеет особенность ... то есть будет несобственным...
Так напишите условие, чтобы при любой функции икс интеграл был сходящимся...
URL
02.11.2015 в 00:06

kanoChan
это какой-то новый термин... сами придумали?... - ахах)
Так напишите условие, чтобы при любой функции икс интеграл был сходящимся... - получается надо доопределить функцию в 2? `f(2)=0`?
URL
02.11.2015 в 00:11

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
получается надо доопределить функцию в 2? `f(2)=0`?
да. требуется нечто подобное... но просто значения в точке будет маловато...
URL
02.11.2015 в 00:13

kanoChan
да. требуется нечто подобное... но просто значения в точке будет маловато... - ` f(t)= 0`,если `t=2`; `f(t)=1`, если `0<=t<2` ?
URL
02.11.2015 в 00:13

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
или даже `f(t)= 0, t=2; f(t)=1, 0<=t<2` ?
Зачем Вам разрывная функция на границе?...
Запишите определение несобственного интеграла второго рода и увидите, что такая функция не подойдёт...
URL
02.11.2015 в 00:18

kanoChan
хм, тогда требовать непрерывность `f(t)` справа на `[0,2)` ?
URL
02.11.2015 в 00:25

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
хм, тогда требовать непрерывность `f(t)` справа на `[0,2)` ?
Ну, непрерывность тут естественна, но нужно более сильное предположение о поведении ядра в окрестности граничной точки...

Поясню свою мысль... (и для простоты писанины перенесу особенность в нуль)...
Возьмём, например, функцию `f(t) = t^2`... тогда для функции `x(t) = 1/{t^3} in C(0;1]` интеграл `int_{0}^{1} x(t)*f(t)*dt` будет расходится ...
URL