Всем привет. Вообще мне попалась задачка несколько по-сложнее. Дело в том, что она текстовая и нет явной функции и уравнения связи. Вот задача.
"В заданный шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема." Собственно все.
Мои действия. Если требуется вписать параллелепипед наибольшего объема, то надо найти максимум этого объема или максимум функции `f(x, y, z) = xyz`
Уравнение связи. Здесь, как я полагаю, нам надо описать радиус шара, но так как нам дан еще и параллелепипед, то я подумал, что как-то через стороны надо выражать этот объем. Думаю, что уравнение связи должно быть таким
`(4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 = (4/3) * pi * R^3`
В итоге, функция Лагранжа, будет выглядеть так:
`L = xyz + \lambda * ((4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 - (4/3) * pi * R^3)`
Это верно? Или я что-то не так делаю? Просто если так, то там такие некрасивые получаются уравнения в системе... Лучше бы это было неправдой, чем возиться со всем этим решением. Заранее спасибо))
"В заданный шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема." Собственно все.
Мои действия. Если требуется вписать параллелепипед наибольшего объема, то надо найти максимум этого объема или максимум функции `f(x, y, z) = xyz`
Уравнение связи. Здесь, как я полагаю, нам надо описать радиус шара, но так как нам дан еще и параллелепипед, то я подумал, что как-то через стороны надо выражать этот объем. Думаю, что уравнение связи должно быть таким
`(4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 = (4/3) * pi * R^3`
В итоге, функция Лагранжа, будет выглядеть так:
`L = xyz + \lambda * ((4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 - (4/3) * pi * R^3)`
Это верно? Или я что-то не так делаю? Просто если так, то там такие некрасивые получаются уравнения в системе... Лучше бы это было неправдой, чем возиться со всем этим решением. Заранее спасибо))
-
-
02.11.2015 в 20:51-
-
02.11.2015 в 21:11У Вас слишком сложное уравнение связи (и не совсем верное)... ведь его суть, что диагональ параллелепипеда равна диаметру (а у Вас почему-то радиусу) шара...
Проще написать, что `x^2 + y^2 + z^2 = (2*R)^2` ...
-
-
02.11.2015 в 21:21`{(u * v * w to max), (u + v + w = 4*R^2), (u ge 0), (v ge 0), (w ge 0):}`
её решение, вообще-то, уже известно...
Хотя и без этого уже всё просто решится...
-
-
02.11.2015 в 21:28Ну да, я там забыл на 2 поделить вроде. В черновике поделил, но мои глаза просто испугались того, что там стало в итоге. Оказывается можно было сократить константы и понизить (а затем повысить) степень.
Вообще я сначала сомневался в том, понял ли я вообще идею уравнения Лагранжа. Так получилось, что у всех подряд были явные функции и уравнения связей, а у меня именно текстовая задача. Ну видимо основную суть я уловил. Это хорошо))
Система выходит такая? (`L = xyz + \lambda * (x^2 + y^2 + z^2 - 4R^2)`):
`yz+ 2*\lambda*x = 0`
`xz+ 2*\lambda*y = 0`
`xy+ 2*\lambda*z = 0`
`x^2 + y^2 + z^2 - 4R^2 = 0`
Так?
Извините, поздно увидел ваше второе сообщение.
Да, возможно так бы было проще)) Но я как-то по стандартному решил пойти)
-
-
02.11.2015 в 21:29-
-
02.11.2015 в 22:45В таком случае, чтобы не было проблем со знаками, могу ли я просто перенести множители с лямбдой в правую часть уравнений? Без изменения знака конечно же.
-
-
02.11.2015 в 22:51И вот только сейчас и представил картинку и понял насколько это логично, что все стороны равны...)) Ладно, спасибо))
-
-
03.11.2015 в 07:39не согласуется с набранным ответом `... = 2 * \lambda = 2R/sqrt(3)` ...
welcome...