Привести примеры операторов

[kanoChan]

Привести примеры операторов в заданных пространствах:
`1) C[0,2) -> C[0,2]`
`2) m -> C[0, infty)`, где `m`-пространство ограниченных последовательностей

В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
А по второму ничего не могу сказать...

Подскажите, пожалуйста, как действовать в таких заданиях?

@темы: Функциональный анализ

Comments

[All_ex]

В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
Ну, таких примеров много... например, возведение функции в квадрат... или умножение на какую-нибудь непрерывную функцию ...

Во втором ... ну, возьмите какой-нибудь сходящийся степенной ряд, например, от экспоненты.... умножьте слагаемые на элементы последовательности...

[kanoChan]

Таким образом, для первого пойдет и `(Ax)(t)=(x(t))^2` ?
А для второго, `(Ax)(t)=sum_{n=1}^{infty} (x(t))^n/(n!)*x_n(t)`, где `x_n(t)` - элементы последовательности ?

[All_ex]

где `x_n(t)` - элементы последовательности ?
Я думал, что у Вас используются числовые последовательности...
Ну, хотя не суть... всё равно ряд должен получится равномерно сходящимся...

Почему Вы `(x(t))^n` пишите, если икс в Ваших обозначениях это последовательность... там что-нибудь иное должно стоять...

[kanoChan]

Я думал, что у Вас используются числовые последовательности...

- да, числовые конечно
тогда так, `(Ax)(t)=sum_{n=1}^{infty} y_n*(x(t))^n/(n!)` , где `y_n` - элементы последовательности?

И по первому примеру - правильно написал?

[All_ex]

И по первому примеру - правильно написал?
вроде, да ...

тогда так, `(Ax)(t)=sum_{n=1}^{infty} y_n*(x(t))^n/(n!)`, где `y_n` - элементы последовательности?
Если у Вас оператор действует из пространства `m`, то почему пишите `Ax`?... ведь последовательность у Вас это игрек?

[kanoChan]

ведь последовательность у Вас это игрек

- мм, тогда `(Ay)`...

А вот по первому, можете объяснить суть подбора примера, смущает отображение из интервала в отрезок... И, если можно, еще пример какой-нибудь

[All_ex]

А вот по первому, можете объяснить суть подбора примера, смущает отображение из интервала в отрезок... И, если можно, еще пример какой-нибудь
Хм... я этого не заметил... тогда такой пример (с возведением в квадрат) не пройдёт, так как функция может быть неограниченной на правой границе...
Возьмите тогда. например, оператор умножения на какую-нибудь функцию... и укажите функцию, доставляющую оператору нужные свойства...

мм, тогда `(Ay)`...
А что у Вас при этом обозначено за икс?...

[kanoChan]

Возьмите тогда. например, оператор умножения на какую-нибудь функцию... и укажите функцию, доставляющую оператору нужные свойства...

такой может, `(Ax)(t)= int_0^2 x(t) dF(t), F(0)=0`, `F(t)` - непрерывна слева на `[0,2)` ?

А что у Вас при этом обозначено за икс?...

- а здесь уже запутался...

[All_ex]

а здесь уже запутался... - просто уберите лишнее...

такой может, - А Вы уверены, что интеграл будет сходится?...

[kanoChan]

просто уберите лишнее...

- `(Ay)=sum_{n=1}^{infty} y_n*x^n/(n!)` ?

А Вы уверены, что интеграл будет сходится?...

- нет... лучше тогда брать не интеграл, хорошо...

оператор умножения на какую-нибудь функцию... и укажите функцию, доставляющую оператору нужные свойства...

- я так понимаю произведение двух непрерывных функций?

[All_ex]

просто уберите лишнее... - `(Ay)=sum_{n=1}^{infty} y_n*x^n/(n!)` ?
Уже лучше... но роль икса всё равно не раскрыта...

лучше тогда брать не интеграл...
Я этого не говорил...

я так понимаю произведение двух непрерывных функций? - Эммм... я о свойствах результирующей функции (`in C[0;2]`) ...

[kanoChan]

но роль икса всё равно не раскрыта...

Я этого не говорил...

- значит можно брать интеграл
Но можно ли взять тот, который я написал (на самом деле я написал интеграл от теоремы об общем виде функционала в пространстве `C[a, b]` (теорема Ф.Рисса))

[All_ex]

Но можно ли взять тот, который я написал
Можно, если правильно укажите свойства ядра оператора...

но роль икса всё равно не раскрыта...
Что у Вас является аргументом функции, которая получается как образ оператора?...

[kanoChan]

Что у Вас является аргументом функции, которая получается как образ оператора?...

- `x` и является?

Можно, если правильно укажите свойства ядра оператора...

- ядром `int_0^2 x(t) dF(t)` будет `x(t)` ?

[All_ex]

`x` и является?
Это у Вас надо спросить... Вы же обозначения вводите...
При этом раньше всё время писали аргумент образа при введении оператора... а тут перестали ...

ядром `int_0^2 x(t) dF(t)` будет `x(t)` ? - нет... это аргумент самого оператора...
Ядро - это функция, на которую умножаете аргумент под интегралом...

[All_ex]

`int_0^2 x(t) dF(t)` - кстати, зачем так сложно... `int_0^2 x(t) * f(t) * dt` - попроще для восприятия... и больше похоже на скалярное произведение из теоремы Рисса...

[kanoChan]

- попроще для восприятия...

- ну здесь тогда ядро это `f(t)`. Осталось теперь перечислить свойства `f(t)`...

[All_ex]

Осталось теперь перечислить свойства `f(t)`...
разумеется...

[kanoChan]

`f(0)=0` - правильно?

[All_ex]

`f(0)=0` - правильно? - зачем это?...
Вы какие неприятности исходного аргумента должны побороть?...

[kanoChan]

Вы какие неприятности исходного аргумента должны побороть?...

`[0,2)`- двойку, не входящую в промежуток

[All_ex]

`[0,2)`- двойку, не входящую в промежуток - ну. и?... как бороть будете?...

[kanoChan]

как бороть будете?

- может каким-либо видом непрерывности функции `f(t)`?

[All_ex]

видом непрерывности - это какой-то новый термин... сами придумали?...

У Вас есть функция `x(t)`, которая непрерывна на полуоткрытом множестве... и может быть неограниченной на границе...
Значит, интеграл имеет особенность ... то есть будет несобственным...
Так напишите условие, чтобы при любой функции икс интеграл был сходящимся...

[kanoChan]

это какой-то новый термин... сами придумали?...

- ахах)

Так напишите условие, чтобы при любой функции икс интеграл был сходящимся...

- получается надо доопределить функцию в 2? `f(2)=0`?

[All_ex]

получается надо доопределить функцию в 2? `f(2)=0`?
да. требуется нечто подобное... но просто значения в точке будет маловато...

[kanoChan]

да. требуется нечто подобное... но просто значения в точке будет маловато...

- ` f(t)= 0`,если `t=2`; `f(t)=1`, если `0<=t<2` ?

[All_ex]

или даже `f(t)= 0, t=2; f(t)=1, 0<=t<2` ?
Зачем Вам разрывная функция на границе?...
Запишите определение несобственного интеграла второго рода и увидите, что такая функция не подойдёт...

[kanoChan]

хм, тогда требовать непрерывность `f(t)` справа на `[0,2)` ?

[All_ex]

хм, тогда требовать непрерывность `f(t)` справа на `[0,2)` ?
Ну, непрерывность тут естественна, но нужно более сильное предположение о поведении ядра в окрестности граничной точки...

Поясню свою мысль... (и для простоты писанины перенесу особенность в нуль)...
Возьмём, например, функцию `f(t) = t^2`... тогда для функции `x(t) = 1/{t^3} in C(0;1]` интеграл `int_{0}^{1} x(t)*f(t)*dt` будет расходится ...

[kanoChan]

Намекаете на предел при `t ->2` от `f(t)` ?

[All_ex]

Намекаете на предел при `t ->2` от `f(t)` ? - я уже давно намекаю, что просто нулевого предела в граничной точке не достаточно...
Внимательнее читайте комментарии... о поведении ядра в окрестности граничной точки...

[All_ex]

Вы знаете, что такое финитная функция?...

[kanoChan]

финитная функция

- это функция, которая обращается в 0 за пределами некоторого множества...

[All_ex]

kanoChan, ну, это как бы не вопрос на определение. а намёк на требуемое свойство...

[kanoChan]

чтобы `f(t)` была финитна ?

[All_ex]

С Вашего позволения я временно откланяюсь... пойду спать...
Доберусь днём до работы - посмотрю Ваш вариант ответа...

[All_ex]

чтобы `f(t)` была финитна ?
Хочется больше подробностей...

[kanoChan]

пойду спать...

- я тоже спать, продолжим завтра ))

[kanoChan]

Хочется больше подробностей...

- `f(t)` финитная справа:
`f(t)={(f(t), t<2), (0, t>=2):}` ?

[All_ex]

`f(t)` финитная справа: `f(t)={(f(t), t<2), (0, t>=2):}` ?
Вы снова пишите просто функцию, имеющую нулевой предел в точке 2... а я снова пишу, что этого мало...
Больше хороших товаров финитности нужно...

[kanoChan]

Я понимаю, что функцию надо доопределить в окрестности точки 2, дальше уже понял,что надо действовать финитностью функции, а каким вот образом...

[All_ex]

Ну, ноль в некоторой окрестности двойки же ... ...

[kanoChan]

а как это записать тогда?((

[All_ex]

Ну, так и записать ... где-то нуль, где-то не нуль...
Например, `f(t)={(1 - t, if, t < 1), (0, if, t >= 1):}`

[kanoChan]

и это я понимаю, функция не равна 0, до окрестности точки `t=2`,а в окрестности уже равна 0, как окрестность саму записать - так торможу((

[All_ex]

Вам надо привести пример... я Вам привёл пример ядра и там всё записал...
Хотите в более общей форме, пожалуйста... `f(t)={(f_0(t), if, t < 2 - delta), (0, if, t >= 2 - delta):}`, где `delta > 0`, а `f_0(t)` - непрерывная функция с нулевым пределом на правом конце отрезка....

[kanoChan]

Вам надо привести пример...

я сейчас вот такой пример оператора придумал, `(Ax)(t)= int_{0}^{2} (e^(t*tau))*x(tau) d tau`, где ядро - это `x(tau)`. Так же можно?

[All_ex]

икс - это не ядро, это аргумент оператора...

[kanoChan]

Хорошо. В самом-самом общем виде мы получили, что
`(Ax)(t)=int_{0}^{2} x(t)*f(t) dt`, где `f(t)={(f_0(t), if, t < 2 - delta), (0, if, t >= 2 - delta):}`, где `delta > 0`, а `f_0(t)` - непрерывная функция с нулевым пределом на правом конце отрезка. Верно?

[All_ex]

Ну, сам пример Вы верно переписали... осталось показать, что образ будет непрерывна замкнутом отрезке...

[kanoChan]

Ну, сам пример Вы верно переписали...

- а вот теперь я хочу конкретный пример привести, например какую-нибудь непрерывную функцию, ту же `t`, это будет `(Ax)(t)=int_{0}^{2} t* f(t) dt ` , где `f(t)={(f_0(t), t < 2 - delta), (0, t >= 2 - delta):}`, где `delta > 0`?

[All_ex]

а вот теперь я хочу конкретный пример привести, например какую-нибудь непрерывную функцию, ту же `t`, это будет `(Ax)(t)=int_{0}^{2} t* f(t) dt ` , где `f(t)={(f_0(t), t < 2 - delta), (0, t >= 2 - delta):}`, где `delta > 0`?
Ну, и как Вы собрались вычислять интеграл от произвольной функции?... ... тогда уже и `f` берите конкретную...


Кстати, сразу (ни ночью, ни сейчас) не обратил внимание, что написанное - это функционал, а не оператор... И если `(Ax)(t)` - то `t` должна быть не переменной интегрирования, а параметром от которого зависит интеграл...

[kanoChan]

Тогда в общем виде можно его переписать как, `(Ax)(t)=int_{0}^{t} x(tau)* f(tau) d tau ` , где `f(tau)={(f_0(tau), tau < 2 - delta), (0, tau >= 2 - delta):}`, где `delta > 0`?

[kanoChan]

Хотя и это наверное неправильно, как и все, что я пишу...

[All_ex]

Тогда в общем виде можно его переписать как, - так годится...
Надеюсь в общем виде вычислять интеграл не будете?...

[kanoChan]

Надеюсь в общем виде вычислять интеграл не будете?...

- не буду )
но мне бы хотелось прямо конкретный пример (что можно использовать,вместо общего вида)... можете написать... пожаалуйста

[All_ex]

но мне бы хотелось прямо конкретный пример - я же писал пример конкретного ядра до всех Ваших посягательств на общи случай... тыц

[kanoChan]

Пойдет, например `(Ax)(t)=int_{0}^{t} x(tau)* f(tau) d tau ` , где `f(tau)={(2-tau, tau < 2 ), (0, tau >= 2 ):}`?

[All_ex]

Пойдет, например - нет... в таком операторе, чтобы получить функцию из `C[0;2]`, нужно ядро с носителем на интервале `[0; 2 - dtlta]` ...

Вот Вам другой пример оператора... `(Ax)(t) = int_{0}^{2} exp(-t*|x(tau)|) * d tau` ...

[kanoChan]

Таким образом, в итоге примеры на два этих задания получились
1) `(Ax)(t)=x_1*x_2*x_3*e^t`, `m-> C[0, infty)`, где `x_1,x_2,x_3`- элементы числовой последовательности;
2) `(Ax)(t)=int_{0}^{2} e^(-t*|x(tau)|) d tau`...
Со всем согласны?

[All_ex]

Ну, второй пример я Вам сам написал (тут грех не согласиться) ... ... вот только он относится к №1...

А с первым номером примером (по №2) вроде другой пример обсуждали... ...
Ну, в принципе, так наверное тоже можно...

[kanoChan]

вот только он относится к №1...

- да, перепутал))

а пример на второй номер сам составил - а здесь уточнил можно так или нет

Спасибо Вам

[All_ex]

welcome ...

[kanoChan]

А можно ли здесь в качестве примера взять `y(t)={( (1 - t/2)*x(t), 0 <= t < 2), (0, t =2):}` ?

[All_ex]

kanoChan, нет... возьмите функцию `x(t) = 1/{(t - 2)^2} in C[0; 2)`... её образ не будет принадлежать `C[0; 2]` ...

[kanoChan]

Вот в ответах в качестве примера берут `y(t)={( (2 - t)*x(t), 0 <= t < 2), (0, t =2):}`...

[All_ex]

Вот в ответах в качестве примера берут - видимо это ошибка составителей...

[All_ex]

Ну, или в условии ещё есть какие-то ограничения на рост функции, которые Вы не указали...

[kanoChan]

какие-то ограничения на рост функции, которые Вы не указали...

- таких нет...

[All_ex]

таких нет... - тогда ошибка авторов... возможно они что-то имели ввиду, но сами забыли написать... ... "чужая душа - потёмки"(с) ...

[kanoChan]

Может быть они имели в виду вот такую функцию `y(t)={( | 2-t |*x(t), 0 <= t < 2), (0, t =2):}` ? Или она тоже будет разрывна?

[All_ex]

kanoChan, А что в данном случае поменяет наличие модуля?...

Ещё раз... Если Вы будете умножать на функцию `(t - 2)^n`, то всегда есть непрерывная на множестве `[0; 2)` функция `x(t) = (t - 2)^{-n-1}`, для которой произведение не будет непрерывно в точке `t = 2`, равно как и не будет интегрируемо на отрезке `[0; 2]` (если вспоминать про ядро интегрального оператора) ...

[kanoChan]

Так или иначе, ни тот пример, что я приводил, ни пример, который привели Вы - преподаватель не зачел...
Прикрепляю пример, который приведен в книге, которую этот же преподаватель и писал...

Знакомьтесь...

И я нахожусь в замешательстве, не зная что вообще теперь делать((

[All_ex]

kanoChan, пример, который привели Вы - преподаватель не зачел - я Вам приводил несколько примеров (правда, в последнем примере с экспонентой в ядре я был не прав)... что не устроило Вашего преподавателя в идее отрезать особенность в точке два я не знаю...
Свои рассуждения с придирками к Вашему (хм, точнее авторскому) варианту решения могу объяснить тем, что считал обозначение `C[0;2)` множеством функций, которые непрерывны на любом отрезке `[0; 2 - delta]`...
Ограниченность на границе не предполагал... В общем надо было сначала посмотреть Ваши определения используемых обозначений...

Почему не зачтено Ваше решение, я не знаю... И я нахожусь в замешательстве, не зная что вообще теперь делать(( - показать преподавателю его же решение и Ваш ответ ...