Математическая олимпиада в Словении

[wpoms.]

Математическая олимпиада в Словении

Республиканская олимпиада школьников по математике Конкурс проводится в три этапа для 7-9 классов основной школы и 1-4 классов средней. Для первого, школьного, этапа используются задания конкурса Кенгуру. На региональном и республиканском этапах задания для средней школы делятся на три категории, для гимназий, технических училищ и прочих школ. На сайте организаторов выложены задания за 2013-2015 годы. Сайт организаторов олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

---

ДОБА

[webmath]

Если сообщество пожелает, размещу ссылку на 12 вариантов досрочного базового ЕГЭ

@темы: ЕГЭ

---

Математическая олимпиада в Черногории

[wpoms.]

Математическая олимпиада в Черногории

Республиканская олимпиада школьников по математике После обретения независимости формат проведения олимпиады поменяли. Сначала исключили региональный этап, потом организаторы избавили себя от необходимости готовить отдельные комплекты заданий для каждой параллели. В настоящий момент проводятся два этапа - школьный и республиканский. В финале участвуют ученики 6, 9 классов и учащиеся средней школы. Сайт организаторов олимпиады

---

Вариационное исчисление. Двойной интеграл. Экстремум функционала

[IWannaBeTheVeryBest]

Вот задачка такая
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?

@темы: Уравнения мат. физики

---

Псевдослучайный генератор

[alex7776]

0

@темы: Юмор

---

Функциональный анализ

[[~PSIH~]]

Пусть `A: L_2[0,1] rightarrow L_2[0,1]` - ограниченный оператор, причем `I m A subset C[0,1]`. Доказать, что `A` компактен.

Соображения:

Имеется указание воспользоваться следующим утверждением:
Если банахово пространство `X` рефлексивно, а сопряженное пространство к`X` - сепарабельно, то из любой последовательности точек единичного шара `{x: ||x||_X<=1}` можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к точке единичного шара.

Что навеяло это указание: необходимо подействовать оператором на единичный шар из `L_2[0,1]` и доказать, что образ предкомпактен. Отсюда будем иметь компактность оператора.
Критерий предкомпактности множества в `L_2[0,1]`: множество `M` предкомпактно тогда и только тогда, когда `forall varepsilon>0 exists delta > 0: forall x in M, h in [0, delta]` выполняется `(int_0^(1-h)(x(t+h)-x(t))^2 dt)^(1/2) < varepsilon`.
Но вот что делать дальше? Кроме того, что образ лежит в шаре радиуса `||A||`, у меня сказать больше ничего не получается...
Непрерывность образов это хорошо, но вот как доказать, что для всех найдется такое ненулевое `delta`? Была идея рассмотреть какой-нибудь базис, но ни к чему конкретному она не привела.

Надеюсь на помощь.

@темы: Функциональный анализ

---

Величина угла

[wpoms.]

Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle BAC = 60^\circ,$ $E$ --- точка на стороне $BC$ такая, что $2\angle BAE = \angle ACB$. Пусть $D$ будет второй точкой пересечения $AB$ с окружностью, описанной около треугольника $AEC$ и точка $P$ --- вторая точка пересечения $CD$ c окружностью, описанной около треугольника $DBE$. Вычислить величину угла $\angle BAP$.

@темы: Планиметрия

---

Линейное программирование

[Merodie]

Добрый день. Есть задачка:
Найти оптимальный план перевозок машин, выпущенных на 2 заводах в количествах 160 и 200 штук для 2 автохозяйств, потребности которых соответственно равны 110 и 250 машин. Затраты на перевозку 1 машины с 1-го завода 1 автохозяйству равны 3 000 р., 2 автохозяйству равны 4 000 р. Те же затраты на перевозку 1 машины со 2-го завода 1 автохозяйству равны 5 000 р., 2 автохозяйству равны 2 000 р.
Я пока допер до того, чтобы сделать так:
X1-кол-во поставленных машин в 1 хоз-во с 1 завода.
X2Кол-во пост. машин во 2 хоз-во с 1 завода.
X3 Кол-во машин со 2 завода поставленных в 1 хоз-во.
X4Кол-во пост. машин во 2 хоз-ва со 2 завода.
соответственно х1+х2 = кол-ву произведенного на первом заводе, х3+х4 на втором, х1+х3 - потребности на первом заводе, х2+х4 - на втором
а вот как туда затраты впихнуть, не понимаю.
Я так понял, целевая функция по затратам будет выглядеть как 3000х11+4000х12+5000х13+2000х14 —> min
но если честно, в математике я очень плох, и что со всем этим делать дальше, не понимаю, поэтому прошу помочь.

Спасибо.

@темы: Высшая алгебра, Линейное программирование

---

Финансовый анализ

[mathdon]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться в следующих задачах (а именно какие формулы использовать):
1) какова доходность ГКО (в процентах годовых к погашению), если данный тираж был размещен по цене 71,8% от номинала (цены гашения)
2) на какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов i=12%, если начислять сложные проценты ежеквартально по 4%? (ответ 17%)
3) увеличится ли современная величина вечной ренты, если платежи сделать в два раза чаще, но годовую процентную ставку в два раза уменьшить? (ответ:да, увеличится)
Касаемо последней задачи: надо использовать формулу A=R/i? если да, то как учесть факт, что платежи делают в 2 раза чаще?

@темы: Математика в экономике

---

Линейная алгебра

[шикарно]

Имеется задание:
В пространстве R^4 определена гиперповерхность, которой принадлежат только те векторы, координаты которых в стандартном базисе (x1; x2; x3; x4) удовлетворяют уравнению x1^2 + x2^2 - x3^2 - x4^2 = 1.

Найти уравнение этой гиперповерхности в базисе f: f1 = (1;1;1;1), f2 = (1;1;-1;-1), f3 = (1;-1;1-;1), f4 = (1;-1;-1;1) в координатах (y1; y2; y3; y4).

Не имею понятия с чего начать решать и как подступиться к заданию.
Может быть подскажете ход действий и посооветуете что-то?

@темы: Линейная алгебра

---

Подгруппа группы

[gelIos1]

Выяснить, какая нормальная подгруппа группы `S4` порождается множеством `{e, (123), (132)}`

Что надумал:
В результате перемножения элементов множества `{e, (123), (132)}` получим след. уникальные перестановки:
`e, ((1, 2, 3, 4), (2, 3, 1, 4)), ((1, 2, 3, 4), ( 3, 1, 2, 4))` - это эл-ты порождающего множества, обозначим его `H` (для `H` выполняются все 4 свойства группы).

Покажем что `H` - нормальная подгруппа группы `G`
`angle g = ((1, 2, 3, 4), (3, 2, 4, 1))`

`((1, 2, 3, 4), (3, 2, 4, 1))*((1, 2, 3, 4), ( 2, 3, 1, 4)) = ((1, 2, 3, 4), ( 2, 4, 3, 1))`
`((1, 2, 3, 4), (3, 2, 4, 1))*((1, 2, 3, 4), ( 3, 1, 2, 4)) = ((1, 2, 3, 4), ( 4, 3, 2, 1))`


`((1, 2, 3, 4), (2, 3, 1, 4))*((1, 2, 3, 4), ( 3, 2, 4, 1)) = ((1, 2, 3, 4), ( 1, 3, 4, 2))`
`((1, 2, 3, 4), (3, 1, 2, 4))*((1, 2, 3, 4), ( 3, 2, 4, 1)) = ((1, 2, 3, 4), ( 2, 1, 4, 3))`

Мн-ва `g*H != H*g` => `H` - не нормальная подгруппа

Подскажите, пожалуйста, на верном ли я пути. Чувствую, надо было идти другой дорогой

@темы: Высшая алгебра

---

Теория чисел. Интересная системка :)

[IWannaBeTheVeryBest]

"Решить в натуральных числах систему
`x + y = 884`
`[x,y] = 189(x,y) `"
В квадратных скобках НОК, в круглых - НОД.
Ну вообще, решением в натуральных числах первого уравнения будет система
`{(x = n),(y = 884 - n):}`, `n \in {1 \dots 883}`
или
`{(x = 884 - n),(y = n):}`
Второе уравнение домножил на `(x, y)`. Получил
`xy = 189(x, y)^2`
Можно еще преобразовать. Если `(x, y) = d`, то существуют такие целые a и b, что `ax + by = d`. Отсюда
`xy = 189(ax + by)^2`
Вообще, я здесь уперся в идею, что `xy` должно быть кратно `189`.
Из 883 чисел нам подходят те, которые, как минимум, делятся на 7.
Еще что... Ну по-сути задачу можно переписать в виде
"Найти все натуральные `n` из диапазона `1 \dots 883`, такие что `(884 - n)*n` кратно `189`"
Может еще какие идеи есть?

@темы: Теория чисел

---

Порядок элемента

[gelIos1]

Пусть порядок элемента `a` в группе `G` равен `pq`, где `NOD(p,q) = 1`. Доказать, что найдутся такие элементы `b, c in G`, что `a = bc = cb, b^p=e, c^q=e`

Мои мысли:
По определению порядка `a^(pq) = e`
Пусть в группе `G` найдутся такие эл-ты `b` и `c`, что `b^p = e` и `c^q = e`
Перемножим `b^p = e` и `c^q = e`, получаем `b^p*c^q=e` => `bc*cdots*bc*c*cdots*c` , если `p < q`. Выходит `(bc)^p*c^q = e` => `a^p*c^q = e`
А вот дальше ступор. По идее, надо получить в итоге `a^(pq)`, для этого полученное выше равенство надо домножить на `b^q`. Но из этого ничего не выходит. Помогите, пожалуйста

@темы: Высшая алгебра

---

Алгебра

[gelIos1]

Пусть в кольце главных идеалов `A` элементы `u` и `v` удовлетворяют условиям:
1) `(u) subset (v)` ;
2) если `I` - идеал кольца `A` и `(u) subseteq I subseteq (v)`, то `I = (u)` или `I = (v)`
Как связаны между собой элементы `u` и `v`?


Мои наброски решения:
Т.к. `I subseteq (v)` , все элементы `I` имеют вид `vk`, `k in A`. По определению идеала, `I` замкнут по умножению со всеми элементами кольца `A`. Тогда для `i in A:` `vki in I`. В то же время из `(u) subseteq I` следует, что `I` содержит все элементы вида `un` `n in I`, значит `|k|<=|u/v|`

Подскажите, пожалуйста, сделал ли я то, что надо или же нет

@темы: Высшая алгебра

---

Простые числа

[IWannaBeTheVeryBest]

"Найти все простые `p`, такие, что `3p + 20` и `3p + 22` тоже простые"
Ну любое простое число представимо в виде
`p = 6k +- 1`, `k \in Z`
Подставим в наши выражения
`3(6k + 1) + 20 = 18k + 23 = 6 * 3k + 6 * 4 - 1 = 6(3k + 4) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k - 1) + 20 = 18k + 17 = 6 * 3k + 6 * 3 - 1 = 6(3k + 3) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k + 1) + 22 = 18k + 25 = 6 * 3k + 6 * 4 + 1 sim 6q + 1`
`3(6k - 1) + 22 = 18k + 19 = 6 * 3k + 6 * 3 + 1 sim 6q + 1`
Проблема только в том, что простое число лишь представимо в таком виде. Однако `6k + 1` не всегда является простым. Если `k = 4` то это составное число.
То есть я тут как бы доказал, что если мы подставим в `3p + 20` любое простое число, то мы будем получать числа вида `6k - 1`, не обязательно простые.

@темы: Теория чисел

---

Вариационное исчисление. Экстремум функционала

[IWannaBeTheVeryBest]

Задача такая
`int_{0}^{1} (y')^3 dx -> inf`
`{(y(0) = 0), (y(1) = 1):}`
Эта задача разбирается в учебнике. Я добрался до условия Якоби. Для того, чтобы его проверить, надо выписать уравнение Якоби для данного случая. Но почему-то я всюду нахожу разные уравнения. В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое
`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`
В другом месте дано уравнение
`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`
Но что больше всего выносит мозг - это то, что уравнение Якоби в задачнике выписано для этого случая так
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`
С решением
`h(x) = C_1 * x + C_2`
Вот и мне не ясно, какое из уравнений верное, так как очевидно, что в первом из них 4 слагаемых, а в другом - 3. К тому же, с какой стати уравнение Якоби тут
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`?
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так
`-d/dx 6y' * h'(x) = 0`

@темы: Уравнения мат. физики

---

[wpoms.]

Федеральное математическое соревнование. Самые красивые задачи (на нем. яз.) - Springer, 2016 Сборник содержит материалы одной из математических олимпиад Германии — Федерального математического соревнования — за 1970–2015 годы. Сайт олимпиады Книга

@темы: Олимпиадные задачи, Литература

---

Методы Якоби, Зейделя (метод сеток)

[mathdon]

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, понять никак не могу...вот в методах Якоби и Зейделя для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа используется четырехточечный шаблон... Допустим, надо найти значение y1,1, Тогда значения y0,1 и y1,0 нам известны из граничный условий, а как найти y2,1 и y1,2? Самим задавать?

@темы: Уравнения мат. физики

---

Обобщенные функции

[IWannaBeTheVeryBest]

"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

---

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

[mathdon]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей Дирихле для уравнения Пуассона:
Δu=-f(x, y), x в П;
u на Г=[ln((x-a)^2+(y-b)^2)]/2, где Г - граница прямоугольника.
где f=0, П={0<=x<=1, 0<=y<=4}, a, b не принадлежат П.
Нужно найти точное решение данной задачи.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать? Методом Фурье?

@темы: Уравнения мат. физики