Вот задачка такая
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?
-
-
30.05.2017 в 19:06как верно отметил IWannaBeTheVeryBest, здесь квадрат вектора, а не квадрат оператора...
IWannaBeTheVeryBest, Если бы \nabla^2 u = \Delta u, то да.
вообще-то не так... лапласиан равен дивергенции от градиента...
а градиент от градиента - это не совсем корректно... поскольку градиент вычисляется от скалярной функции...
-
-
30.05.2017 в 19:19All_ex, Я смотрел по википедии... Там так. Ну может тут не совсем верное описание.
-
-
30.05.2017 в 19:26я же имел ввиду применение оператора к образу градиента... в общем ...
-
-
31.05.2017 в 14:59-
-
31.05.2017 в 15:02-
-
31.05.2017 в 15:16Ну, насколько я понял, если провести аналогию с какой-нибудь функцией `f(x)`, то мы знаем, что ее экстремум достигается в какой-то точке `x_0` - точке экстремума, где значение функции в этой точке `y(x_0) = y_0` "экстремальное" (минимальное или максимальное на множестве `X`). `y_0` получается банальной подстановкой `x_0` в саму функцию. То есть у нас есть функция и нам нужно найти такой аргумент, при котором эта самая функция будет минимальной или максимальной.
В данном случае нам дан функционал, аргументом у которого выступает функция, если так можно сказать. Мы нашли функцию, на которой интеграл (функционал) будет принимать минимальное значение. А чтобы это значение вычислить, то есть вычислить экстремум функционала, нам нужно проинтегрировать найденную функцию.
-
-
31.05.2017 в 15:37-
-
31.05.2017 в 15:54Оператор набла действует в полярных координатах так
`(\nabla u)^2 = (u_r)^2 + 1/r^2 * (u_\phi)^2` - это если сразу возводить в квадрат.
Тут надо просто найти частные производные по r и phi функции u.
`dS = dxdy = rdrd\phi`
Все. Сам двойной интеграл я писал выше. Могу еще раз написать
`int_{0}^{2pi} d\phi int_{2}^{3} r * (\nabla u)^2 dr`
-
-
31.05.2017 в 15:59-
-
31.05.2017 в 16:01-
-
31.05.2017 в 16:06Оффтоп...
Очень советую установить скрипт отсюда: pay.diary.ru/~eek/p103173149.htm
Чтобы видеть формулы нормально.
-
-
31.05.2017 в 16:16`{(\Delta u = 0), (u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)), (u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)) :}`
последний вопрос. откуда следует твой вывод? интересно как ты пришел к (\Delta u = 0)
-
-
31.05.2017 в 16:30`(\nabla u)^2 = (u_x)^2 + (u_y)^2`; Дальше составил уже уравнение Эйлера по формуле, которая написана в этом учебнике
www.twirpx.com/file/17832/
на странице 22. Формула (21). Там во втором слагаемом вроде опечатка еще. Должно быть F_p, а не F_d. Короче частная производная там должна быть по p а не по d.
Параграф начинается со страницы 20. Там вывод этой формулы дан. Также написано, что такое p и q.