Математическая олимпиада в Словении

[wpoms.]

Математическая олимпиада в Словении

Республиканская олимпиада школьников по математике Конкурс проводится в три этапа для 7-9 классов основной школы и 1-4 классов средней. Для первого, школьного, этапа используются задания конкурса Кенгуру. На региональном и республиканском этапах задания для средней школы делятся на три категории, для гимназий, технических училищ и прочих школ. На сайте организаторов выложены задания за 2013-2015 годы. Сайт организаторов олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Гость]

59 конкурс учащихся средней школы, 2014-2015, финал

1 класс

1. Eva, Igor, Marko и Marusa написали на листе бумаги свои натуральные числа. Оказалось, что если стереть последнюю цифру числа Евы, то получится число Игоря, если стереть последнюю цифру числа Игоря, то получится число Марка, если стереть последнюю цифру числа Марка, то получится число Маруси. Сумма всех написанных чисел равна 3838. Какие числа написали Ева, Игорь, Марк и Маруся?

2. Действительные числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенствам
$x^3 + x^2 + xy + x + y + 2 = 0$ и $y^3 - y^2 + 3y - x = 0.$
Найдите значение выражения $x - y.$

3. Даны квадрат $ABCD$ и точки $E$ и $F$ вне его такие, что треугольники $BEC$ и $CFD$ являются равносторонними. Докажите, что и треугольник $AEF$ равносторонний.

4. Дана прямоугольная сетка размером $7 \times 9$ клеток. В нижнем левом углу находится колонна муравьев, а их муравейник --- в верхнем правом углу. Во всех остальных узлах сетки лежит по одному зерну. По пути в муравейник муравей собирает все встреченные зерна, а добравшись до муравейника, остается в нем. Какое наименьшее количество муравьев должно быть в колонне, если они хотят собрать все зерна, а двигаться могут только по сетке вправо или вверх?

[wpoms.]

59 конкурс учащихся средней школы, 2014-2015, финал

2 класс

1. Найдите все пары действительных чисел $x$ и $y,$ которые удовлетворяют уравнениям
$x + \frac{1}{y - x} = 1;\ \ \ y + \frac{1}{x - y} = 2.$
обсуждение

2. Найдите все пары положительных целых чисел $a$ и $b$ таких, что $a - b = 101$ и $ab$ является квадратом целого числа.
обсуждение

3. Пусть $P$ будет серединой стороны $AB$ треугольника $ABC.$ Луч, симметричный лучу PC относительно прямой $AB$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D.$ Пусть $E$ будет второй точкой пересечения прямой $CP$ с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Докажите, что $|AE| = |BD|.$
обсуждение

4. Дана треугольная сетка размером $9 \times 9$. В верхнем узле находится колонна муравьев, а их муравейник --- в нижнем правом узле. Во всех остальных узлах сетки лежит по одному зерну. По пути в муравейник муравей собирает все встреченные зерна, а добравшись до муравейника, остается в нем. Какое наименьшее количество муравьев должно быть в колонне, если они хотят собрать все зерна, а двигаться могут только по сетке вправо или вниз или по диагонали вправо-вниз?

обсуждение

3 класс

1. Для какого количества положительных целых чисел $n,$ $n \leq 2015,$ дробь $\dfrac{3n - 1}{2n^2 + 1}$ несократима?
обсуждение

2. Найдите все многочлены $p$ нечетной степени с действительными коэффициентами такие, что $p(p(x)) \leq (p(x))^3$ для всех $x \in \R$ и у которых коэффициент при $x^2$ равен 0.
обсуждение

3. Дан четырехугольник $ABCD$ такой, что $\angle BAC = \angle ACB = 20^\circ,$ $\angle DCA = 30^\circ$ и $\angle CAD = 40^\circ.$ Найдите величину $\angle CBD.$
обсуждение

4. В ряд стоят $n$ ламп, $n \geq 3,$ пронумерованные числами от 1 до $n.$ В начале все лампы, стоящие на нечетных местах, включены, а остальные выключены. За одну операцию можно одновременно изменить состояние трех стоящих рядом ламп (включенные выключить, выключенные включить).
(a) Докажите, что порядок выполнения операций, необходимых для достижения конечного состояния, не важен.
(b) Для каких $n$ можно добиться того, чтобы лампы на нечетных местах были выключены, а на четных --- включены?
обсуждение

4 класс

1. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $2a^b = ab + 3.$
обсуждение

2. Дана последовательность ненулевых действительных чисел $a_1, a_2, a_3, ...$ такая, что $a^2_n = -a_{n+1}a_{n-1}$ для всех натуральных чисел $n,$ $n \geq 2.$ Докажите, что числа $a_2, a_4, a_6, \ldots$ образуют геометрическую прогрессию.
обсуждение

3. Пусть точки $D$ и $E$ будут соответственно серединами сторон $BC$ и $CA$ треугольника $ABC.$ Прямые $AD$ и $BE$ пересекают повторно описанную окружность треугольника $ABC$ соответственно в точках $P$ и $Q.$ Пусть $|DP| = |EQ|.$ Докажите, что треугольник $ABC$ --- равнобедренный с вершиной [верхом] $C.$
обсуждение

4. В компании, управляемой несколькими директорами, есть сейф, закрываемый на шесть замков. У каждого директора есть три ключа, которыми он может открыть три разные замка. Каждый ключ может открыть ровно один замок. Нет двух директоров, ключи которых могут открыть одни и те же три замка, и никакие два директора не могут вместе открыть сейф. Сколько директоров работают в компании?
обсуждение