"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...
-
-
15.05.2017 в 20:27-
-
15.05.2017 в 20:54`\forall \phi \in D: (P1/x, \phi(x)) = v.p. int_{R} (\phi(x)dx)/x = lim_{\epsilon -> +0} int_{|x| > \epsilon} (\phi(x)dx)/x`
`P` - это типа функционал какой-то?
-
-
15.05.2017 в 21:19-
-
15.05.2017 в 21:25-
-
15.05.2017 в 21:55-
-
15.05.2017 в 21:57-
-
15.05.2017 в 22:21-
-
15.05.2017 в 22:30-
-
19.05.2017 в 14:05для неё фундаментальное решение...
А откуда данная информация взята? Ну хотя бы чтобы ознакомиться с тем, что тут вообще происходит))
-
-
19.05.2017 в 14:15`y'' = (P1/x, 1/(x(x - 1)(x - 2)))`?
-
-
19.05.2017 в 14:59`x^4(x - 2)y'' = 1`
Или так нельзя?
-
-
19.05.2017 в 22:09Ведь проинтегрировать уравнение получится только если выразить вторую производную...
-
-
19.05.2017 в 22:16обзначим `y'' = f` получим следующее уравнение `(x-1)(x-2) f = P(1/x^2)`. Далее для того, чтобы получить `P(1/x^2)` предлагаю взять в качестве `f = P(1/(x^2*(x-1)*(x-2))) + c_1 delta(x-1) + c_2 delta(x-2)`, не знаю как строго объяснить почему надо брать именно в таком виде `f`, но если подставить её в уравнение можно убедиться, что получится верное равенство. Далее получаем (с учётом, что `f = y''`) следующее дифференциальное уравнение `y'' = P(1/(x^2*(x-1)*(x-2))) + c_1 delta(x-1) + c_2 delta(x-2)`, а вот его решение ищется, как я уже говорил раннее. Почитать об этом можно здесь math.nw.ru/~grikurov/Distributions.pdf , начиная со страницы 18
-
-
19.05.2017 в 22:17ну я же могу решить `y'' = 1/(x^4(x - 2))` довольно просто. Составляем хар-е ур-е и вперед, как говорится
-
-
19.05.2017 в 22:25-
-
19.05.2017 в 22:28Красиво Вы, умножив и поделив на `x^2`, избавились от обобщённой функции в правой части...
-
-
19.05.2017 в 22:30`y'' = 1/(x^2(x - 1)(x - 2))`
и решить?
-
-
19.05.2017 в 22:37По этому комментарию я стал догадываться, что так делать нельзя
Ладно, буду думать
не знаю как строго объяснить почему надо брать именно в таком виде
А может надо просто подбирать?)) Я был бы очень рад, но видимо надо разобраться, почему так
-
-
19.05.2017 в 22:48-
-
19.05.2017 в 22:48`(\delta(x - a), \phi) = \phi(a); a \in R`
Но это все функционалы. Не представляю, как с ними работать без этого `\phi`.
upd: Может мне надо бы найти `(f, \phi)`?
upd2: хотя нет, вы же сказали, как можно найти решение этого уравнения. Остается только понять, как получается эта правая часть.
-
-
19.05.2017 в 22:55к сожалению я всю эту кухню хорошенько подзабыл...
понятно, что всё равно интегрировать в классическом смысле это уравнение придётся, поскольку в точках `x != 0; 1; 2` решение будет совпадать с классическим...
в пособии из ссылки skifalan, то на странице 18 есть пример, правда с первой производной...
вероятно, можно подбирать коэффициенты в обобщённой части решения, которая имеет вид суммы дельта-функций... а возможно и производных от дельта-функций...
-
-
19.05.2017 в 23:01Но правда в левой части множитель просто `x^m`. Эххх... Может там есть какой-нибудь общий вид левой части...
Ну а `f` - мы как раз замену сделали `f = y''`
-
-
19.05.2017 в 23:08А что мешает рассматривать множители по отдельности?...
-
-
19.05.2017 в 23:16`P1/x^2 + P1/(x - 1) + P1/(x - 2)`
Хотя наверное есть свойство о равенстве функционала суммы и суммы функционалов... А может я просто несу бред
-
-
19.05.2017 в 23:20конечно есть... функционал-то линейный...
-
-
19.05.2017 в 23:36`x^2(x - 1)(x - 2)*f = 1`
Тогда его решением должно же быть
`f = P(1/x^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 2)) + C_1 * \delta(x - 1) + C_2 * \delta(x - 2) + C_3 * \delta(x) + C_4 * \delta'(x)`
Или я что-то не так рассмотрел?
Будет там в конце производная. Извините, путаю всех сильно
-
-
19.05.2017 в 23:47-
-
19.05.2017 в 23:54`P(1/(x^2(x - 1)(x - 2)))`
Только как это так то
Может попробовать сделать замену `x^2(x - 1)(x - 2) = t` и потом получить решение
`P1/t + C_0 * \delta(t)`
А потом раскрыть `t`? Сделать так, как мне кажется, будет резонно. Или тут как-то быстрее можно получить эти коэффициенты?
-
-
20.05.2017 в 00:02`(x^2 (x-1) (x-2) f , phi ) = ( f, x^2 (x-1) (x-2) phi) =`
`= (1/2 P 1/x^2 - P 1/(x-1) + 3/4 P 1/x +1/4 P 1/(x-2) + c_1 delta(x-1) +c_2 delta(x-2) +c_3 delta(x) +`
`+c_4 delta' (x), x^2(x-1)(x-2) phi)` , так как функционал линеен, то можно разложить на слагаемые и заметить,что слагаемые с дельта функцией выдадут нули, останутся только регуляризации рассмотрим их отдельно:
1) `1/2 ( P 1/x^2, x^2(x-1)(x-2) phi ) = 1/2 V.p int (x^2(x-1)(x-2) phi) /(x^2) dx = 1/2 int (x-1)(x-2) phi dx `
2) `(P 1/(x-1), x^2 (x-1) (x-2) phi ) = V.p int (x^2 (x-1) (x-2) phi) /(x-1) dx = int (x^2 (x-2) phi )dx `
3) `3/4 (P 1/x, x^2 (x-1) (x-2) phi ) = 3/4 V.p int (x^2 (x-1) (x-2) phi )/x dx = 3/4 int (x (x-1) (x-2) phi ) dx`
4) ` 1/4 (P 1/(x-2) , x^2 (x-1) (x-2) phi) = 1/4 V.p int(x^2 (x-1) (x-2) phi)/(x-2) dx = 1/4 int (x^2 (x-1) phi )dx`
Теперь просуммировав слагаемые получим, то что было нужно, а именно:
`(f,x^2 (x-1) (x-2) phi) = 1/2 int (x-1)(x-2) phi dx - int x^2 (x-2) phi dx +`
`+3/4 int x (x-1) (x-2) phi dx +1/4 int x^2 (x-1) phi dx = int 1* phi dx = (1,phi)`
Вроде как - то так
-
-
20.05.2017 в 00:08`1/(x^2(x-1)(x-2)) = A/x +B/x^2 +C/(x-1) +D/(x-2)` метод неопределенных коэффициентов