Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Математическая олимпиада в Черногории
Республиканская олимпиада школьников по математике После обретения независимости формат проведения олимпиады поменяли. Сначала исключили региональный этап, потом организаторы избавили себя от необходимости готовить отдельные комплекты заданий для каждой параллели. В настоящий момент проводятся два этапа - школьный и республиканский. В финале участвуют ученики 6, 9 классов и учащиеся средней школы. Сайт организаторов олимпиады |  |
-
-
28.05.2017 в 22:241. Пусть $a, b$ и $c$ --- положительные действительные числа. Докажите, что
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3abc(a+b+c).$
2. На координатной плоскости даны пять точек $A_1, A_2, A_3, A_4$ и $A_5$ с целыми координатами. Докажите, что из этих пяти точек можно выбрать две точки так, что на соединяющем их отрезке есть не менее одной точки с целыми координатами.
3. Даны натуральные числа $k,l,m$ и $n$ и простое, большее 3, число $p$ такие, что
$$p^k + p^l + p^m = n^2.$$
Докажите, что число $p+1$ делится на 8.
4. Даны пять отрезков, длина каждого из них больше 5 см и меньше 25 см.
Докажите, что из каких-то трех из этих отрезков можно сложить треугольник.
5. Дан остроугольный треугольник $ABC$ с ортоцентром $H.$ Докажите, что
$AH\cdot h_a + BH\cdot h_b + CH\cdot h_c = \frac{a^2+b^2+c^2}{2},$
где $a, b$ и $c$ --- длины сторон треугольника $ABC,$ а $h_a,h_b$ и $h_c$ --- длины высот треугольника $ABC,$ опущенных соответственно на стороны $BC, CA$ и $AB.$