Порядок элемента

[gelIos1]

Пусть порядок элемента `a` в группе `G` равен `pq`, где `NOD(p,q) = 1`. Доказать, что найдутся такие элементы `b, c in G`, что `a = bc = cb, b^p=e, c^q=e`

Мои мысли:
По определению порядка `a^(pq) = e`
Пусть в группе `G` найдутся такие эл-ты `b` и `c`, что `b^p = e` и `c^q = e`
Перемножим `b^p = e` и `c^q = e`, получаем `b^p*c^q=e` => `bc*cdots*bc*c*cdots*c` , если `p < q`. Выходит `(bc)^p*c^q = e` => `a^p*c^q = e`
А вот дальше ступор. По идее, надо получить в итоге `a^(pq)`, для этого полученное выше равенство надо домножить на `b^q`. Но из этого ничего не выходит. Помогите, пожалуйста

@темы: Высшая алгебра

Comments

[Trotil]

Я пошёл другим путём.

условие 1: a = bc = cb
условие 2: b^p=e, c^q=e

если взять в качестве b,c числа a^q, a^p, очевидно, что будет выполняться условие 2. Обозначим их m,n.
Понятно, что можно взять и m^k и n^k (k - целое положительное), условие 2 будет тоже выполяться.

Рассмотрим множество { m*n, m^2*n^2, ... }. Это вроде как циклическая подгруппа в G, образованная элементом m*n=a^(p+q), если я правильно помню.

Утверждения:
- оно конечное, т.к. его элементы - это суть a в некоторой степени
- среди этих элементов найдутся элементы вида a^(q^s), a^(p^s), потому что s всегда можно выбрать таким, что второй множитель будет =1
- из предыдущего утверждения и условия (p,q)=1 следует, что среди элементов множества найдётся элемент, равный а (общий предок).

Числа b и с cформированы.

[Trotil]

> a^(q^s), a^(p^s),

А не перепутал ли я здесь возведение в степень и произведение?

[All_ex]

gelIos1, получаем `b^p*c^q=e` => `bc*cdots*bc*c*cdots*c` , если `p < q`. Выходит `(bc)^p*c^q = e`
вроде получится `(bc)^p*c^{q - p} = e` ...

[All_ex]

Пусть `G` циклическая группа и её порядок равен `N`...
Рассмотрим элементы `b = a^{q*n}, \ \ c = a^{p*m}`... очевидно, что `b^p = c^q = e`...
Тогда из условия `a = b*c` получаем, что `q*n + p*m = 1 + N*k`... поскольку `NOD(p;q) = 1`, то уравнение имеет решение при любой правой части...
В принципе можно считать `k = 0`, поскольку не возбраняется рассматривать обратные элементы, которые тоже будут принадлежать группе...

[Trotil]

собственно, я тоже самое написал.

только первая строчка наверное неверная. G может быть любой, а вот элемент а порождает циклическую подгруппу.

[gelIos1]

All_ex, да, там я не до конца дописал, должно было быть `c^(q-p)`

[gelIos1]

Trotil, All_ex, Всё понял, спасибо вам большое!=)

[All_ex]

welcome о всех ...