Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

[mathdon]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей Дирихле для уравнения Пуассона:
Δu=-f(x, y), x в П;
u на Г=[ln((x-a)^2+(y-b)^2)]/2, где Г - граница прямоугольника.
где f=0, П={0<=x<=1, 0<=y<=4}, a, b не принадлежат П.
Нужно найти точное решение данной задачи.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать? Методом Фурье?

@темы: Уравнения мат. физики

Comments

[All_ex]

где f=0 - тогда это не уравнение Пуассона, а уравнение Лапласа...

Если покопаться в памяти, то логарифм от радиуса является гармонической функцией... то есть [ln((x-a)^2+(y-b)^2)]/2 будет решением задачи..

[mathdon]

Я прошу прощения за такой вопрос, но...причем здесь радиус, если речь идет о прямоугольной области?

[skifalan]

mathdon, я так понимаю, что имелось ввиду следующее, что `log |x|`, где `x in RR^2` является гармонической функцией, т.е. `Delta log |x| = 0`

[skifalan]

mathdon, так как у вас на границе, как раз задана функция вида `log |x|` где `x in RR^2`, т.е. `x = (x_1 , x_2)`, тогда, `log |x| = log sqrt(x_1^2 +x_2^2)`. Если, вы занесете `1/2` под логарифм получите как раз, функцию такого же вида, а именно `log sqrt( (x-a)^2 + (y-b)^2)`, где `x_1 = x-a` и `x_2 = y-b`. Надеюсь, что я понятно выразился.

[skifalan]

mathdon, PS: по поводу радиуса `r = |x|`, т.е. `sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)` - задаёт какой-то радиус вектор.

[All_ex]

skifalan, PS: по поводу радиуса `r = |x|`, т.е. `sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)` - задаёт какой-то радиус вектор.
ну, да... я намекал на сдвиговую замену...
хотя можно просто в лоб подставить и проверить, что эта функция будет решением...

[mathdon]

Спасибо! Вы мне очень помогли!

[All_ex]

welcome от всех ...