суббота, 14 января 2017
02:21

Исследовать на сходимость

все записи пользователя в сообществе Груша Вильямс
Исследовать на сходимость ряд `sum_{n=1}^infty (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n`.
Так как `sqrt((n+1)/n) > (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n` и ряд `sum_{n=1}^infty sqrt((n+1)/n)`сходится по необходимому признаку, то и исходный ряд сходится в силу признака сравнения.
Правильно? И можно ли как-нибудь покороче?

@темы: Ряды

URL
01:18

Непредставительные числа

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Число `1000` может быть записано как сумма `16` последовательных натуральных чисел: `1000 = 55 + 56 + ... + 70`. Найдите все натуральные числа, которые не могут быть записаны как сумма двух или более последовательных натуральных чисел.




@темы: Теория чисел

URL
пятница, 13 января 2017
00:36

все записи пользователя в сообществе Leska|Nastya
Когда женщина перестает быть юной и прелестной, она становится мудрой и роскошной
Добрый вечер! Помогите решить задачу)

Определите значение параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень
x^4 + (a^2+a+1) x^2 -a^3 - 2a=0


делаю замену на t^2, нахожу дискриминант:
D=(a^2+a+1)^2 + 4a*(a^2+2)

один корень, значит дискриминант равен нулю, получаю
(a^2+a+1)^2 + 4a*(a^2+2)=0

И что делать дальше не ясно =(

по логике поделила уравнение на a^2+1, но получается что-то несусветное:
(1+а/(a^2+1))^2 + 4/(a^2+1) (1+1/(a^2+1))
замену сделать не могу, т.к. слева есть "а", а справа - нету...

Если просто раскрыть скобки и не мучиться, получаем a^4+6a^3+3a^2+10a+1=0
Это тоже решить не получается...
Причем в ответе написано a=0.

@темы: Задачи с параметром

URL
среда, 11 января 2017
19:07

Правильно ли?

все записи пользователя в сообществе cube in cube
При каких ограничениях на `p` и `q` уравнение `x^(2 * n + 1) + p * x + q` имеет ровно три различных вещественных корня
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q` должна иметь два различных вещественных корня, т.е. ` (2* n + 1) * x^(2*n) + p = 0` откуда `p < 0` и корни производной `x_1 = -(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))` , `x_2 = +(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))`.
т.к `lim_(x->infty) P(x) = -infty` , то `P(x_1) > 0` , а `P(x_2) < 0` откуда получаем `q > p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) ` , `q < -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1)`
Окончательно `p < 0 ` и `q in (p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) , -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1))`

@темы: Математический анализ

URL
вторник, 10 января 2017
13:15

Обсуждение решений

все записи пользователя в сообществе All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По просьбам Гостя создаю топик для обсуждения решений муниципального этапа Нижегорожской областной олимпиады 2016-2017 года.

Условия можно посмотреть в топике олимпиады...

Присоединяйтесь все желающие...

@темы: Олимпиадные задачи

URL
понедельник, 09 января 2017
11:54

В треугольнике

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Дан треугольник `ABC`, точка `D` - проекция точки `B` на биссектрису угла `ACB`, а точка `E` - проекция точки `C` на биссектрису угла `ABC`. Докажите, что `DE` пересекает стороны `AB` и `AC` в точках касания этих сторон с вписанной в треугольник `ABC` окружностью.




@темы: Планиметрия

URL
пятница, 06 января 2017
20:29

Можно ли так доказать?

все записи пользователя в сообществе cube in cube
1) Пусть `a_n` - ограниченная последовательность натуральных чисел ,`lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = 1` . Найти `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n`
Для начала докажем, что `lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) a_n`. Для этого рассмотрим предел `lim_(n -> infty) ln(a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) (ln(a_1)+...+ln(a_n))/n`, по теореме Штольца он равен `lim_(n -> infty) ln(a_n)`. Применив теорему Штольца к пределу `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n` получим, что он равен `lim_(n -> infty) a_n`, следовательно искомый предел равен 1.

2) Если `lim_(x -> infty) f(x) + f'(x) = a` , то `lim_(x -> infty) f(x) = a`, а `lim_(x -> infty) f'(x) = 0`. Доказать
Применив правило Лопиталя к пределу `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x` получим : `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x = lim_(x -> infty) (e^x * (f(x)+ f'(x))) / e^x = a`
Следовательно `lim_(x -> infty) f'(x) = 0` и `lim_(x -> infty) f(x) = a`

@темы: Пределы

URL
09:41

Доказать, что специальная линейная группа порождается множеством матриц.

все записи пользователя в сообществе zodiyelite
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что `SL_2(ZZ) = <((0,-1),(1,0)), ((1,1),(0,1))>`.
Не до конца понимаю "на пальцах", что значит группа, порожденная множеством.
Если `a = ((0,-1),(1,0))`, то `a^2 = ((-1,0),(0,-1)), a^3 = ((1,0),(0,1))`
`b=((1,1),(0,1)), b^n = ((1,n),(0,1))`.
Т.е. надо доказать, что любая матрица из `SL_2(ZZ)` представима в виде `\alpha a^k * \beta b^m`?

@темы: Теория групп, Матрицы, Высшая алгебра

URL
четверг, 05 января 2017
17:41

Иванов, Петров, Сидоров - Близнецы? - Нет. Однофамильцы

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


В классе, в котором учатся `14` мальчиков, провели опрос. Каждого из мальчиков попросили ответить на два вопроса: у скольких одноклассников такое же имя и у скольких одноклассников такая же фамилия. В ответ были получены числа `0, 1, 2, 3, 4, 5` и `6`. Докажите, что в классе есть два мальчика с совпадающими именем и фамилией.




@темы: Комбинаторика

URL
вторник, 27 декабря 2016
18:32

Новогодняя гирлянда

все записи пользователя в сообществе wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Имеются n выключенных лампочек, пронумерованных числами от `1` до `n`. С ними можно выполнять одну из следующих операций:
• изменить состояние лампочки `1`;
• изменить состояние лампочки `2`, если первая лампочка горит;
• изменить состояние лампочки с номером `k` (`k > 2`), если лампочка с номером `k-1` горит и все лампочки с номерами `1, ... , k-2` выключены.
Покажите, что возможно, после определенного количества операций, добиться того, чтобы горела только лампочка с номером `n`.




@темы: Дискретная математика

URL
понедельник, 26 декабря 2016
20:42

Исследовать на непрерывность

все записи пользователя в сообществе MisteryS
Ислледовать на непрерывность при x>=-1
`\sum_{n=2}^{\propto }(((-1)^n)*((n)^(n-1))/(n+x)^n)`

Для исследования равномерной непрерывности использую признак Абеля

не могу понять, чем ограничена b_n

Я нашла предел....то есть теперь нужно найти, чем ограничено `1/e^x`
и вот не пойму....чем же.....


или есть какой-то другой способ определить ограниченность?....без использования экспоненты....


@темы: Математический анализ

URL
20:24

все записи пользователя в сообществе @Заноза
Всe куда-то падают и куда-то попадают. (c)
Здравствуйте!
Нужно найти число всех подмножеств множества {1, {1,2}, {1, {1,2}}}.
Мне кажется, что пять: `emptyset`, 1, 2, {1,2}, {1, {1,2}}. Но ответ не верный.

@темы: Множества

URL
воскресенье, 25 декабря 2016
19:19

все записи пользователя в сообществе старый добрый Тигрррь
Рррррррь!
Посоветуйте пожалуйста какой-нибудь фильм для шестиклассников. Можно по дробям, а можно и совсем что угодно, только бы интересно было (не мне, а школярам, конечно же).
Желательно что-то документальное с математическими выкладками, а не художественный полнометражный фильм.

@темы: Поиск, В помощь учителю

URL
18:29

Задача Штурма-Лиувилля

все записи пользователя в сообществе mathdon
Здравствуйте! Не могли бы Вы объяснить, откуда у уравнения Y"(x)+λY(x)=0 в его общем решении Y(x)=Asin(ρx)/ρ+Bcos(ρx) взялось деление на ρ?

@темы: Уравнения мат. физики

URL
суббота, 24 декабря 2016
20:41

Построить резольвенту Фредгольма

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Для заданного ядра `K(s,t)` интегрального оператора, заданного на отрезке `[a, b]` построить резольвенту Фредгольма как для вырожденного ядра.
В примере дано
`K(s,t) = s - t;` `a = 0;` `b = 1;`
Рассматривается интегральное уравнение
`f - Mf = h`, где
`(Mf)(s) = \lambda * int_{a}^{b}K(s,t)*f(t)dt`
Уравнение переписывается в виде
`f(s) = h(s) + \lambda*int_{0}^{1}(s-t)f(t)dt = h(s) + \lambda*s * int_{0}^{1} f(t) dt - \lambda * int_{0}^{1} t*f(t)dt`
Вводится обозначение
`c_{1} = int_{0}^{1} f(t) dt;` `c_{2} = int_{0}^{1}t*f(t) dt` (1)
Отсюда
`f(s) = h(s) + \lambda*sc_1 - \lambdac_2` (2)
Вот дальше написана фраза и выполнены действия, которых я вообще не понял.
Подставим ВЫРАЖЕНИЕ (2) в равенства (1). Получим систему уравнений для `c_1` и `c_2`
`(1 - 1/2\lambda)c_1 + \lambda*c_2 = int_{0}^{1} h(t) dt`
`-1/3\lambda*c_1 + (1 + 1/2\lambda)*c_2 = int_{0}^{1} t * h(t) dt`
Каким образом? Что это за "ловкость рук"? Вообще не понял, что произошло. Куда s делось? Почему (2) - это выражение? Где `f(s)`?

@темы: Функциональный анализ

URL
13:08

Интегрирование функции КП. Вычеты

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
`int_{|z - 1| = 1} sin(pi*z)/((z^2 - 1)^2)dz`
В данном случае, у меня две существенно особые точки. И только одна из них входит в контур. Понимаю, что надо выудить из ряда Лорана `c_{-1}` член, но не очень понимаю. Надо в любом случае раскладывать полностью всю функцию в ряд Лорана? Не зависимо от того, сколько существенно особых точек и сколько из них входят в контур? Если так, то надо разбить дробь на простые
`1/((z^2 - 1)^2) = 1/((z - 1)^2(z + 1)^2) = 1/4(1/(z + 1) + 1/((z + 1)^2) - 1/(z - 1) + 1/((z - 1)^2))`
И дальше, насколько я понимаю, нам надо раскладывать функцию по степеням `z - 1`.
Поэтому, перед разложением, мне надо преобразовать две первые дроби
`1/(1 + z) = 1/(1 - (z - 1)/(-1) + 1) = 1/2(1/(1 - (z - 1)/(-2)))`
`1/(1 + z)^2 = 1/4(1/(1 - (z - 1)/(-2)))^2`
Для второго случая у меня вроде как есть разложение.
Дальше синус... Ну наверное можно воспользоваться формулой приведения
`-sin(pi(z - 1)) = -sin(pi*z - pi) = sin(pi*z)`
Ну а для
`-sin(pi(z - 1))` разложение есть.
В верном направлении иду? Пока не буду раскладывать. Вдруг ошибаюсь))

@темы: ТФКП

URL
пятница, 23 декабря 2016
22:06

Минимальный путь/производная

все записи пользователя в сообществе MestnyBomzh
есть точки A(0;6), B(20;9), C(a;0)
Найти a, что путь A->C->B будет кратчайшим.
Минимизировать сумму корней не смог. Есть ли какое-то другое решение?

@темы: Производная

URL
среда, 21 декабря 2016
13:26

Привести матрицу к диагональному виду

все записи пользователя в сообществе IWannaBeTheVeryBest
Я тут решил вспомнить немного материал из прошлого. Как привести матрицу к диагональному виду? Ну скажем такую
`A = ` $\left(\begin{array}{c c}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right)$
Пусть передо мной задача найти n-тую степень матрицы. Очевидно, ее надо привести к диагональному виду и возвести каждый элемент на диагонали в n-тую степень. Можно использовать алгоритм приведения ее к Жордановой форме. Но почему ее нельзя свести к диагональному виду путем элементарных преобразований строк? Скажем, если `L_n` - это n - тая строка, то `L_2 - 3*L_1` и затем `L_1 + L_2`? И будет матрица
`A' = ` $\left(\begin{array}{c c}1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)$
В чем подвох? Я похоже не понимаю, что такое диагональный вид матрицы :D

@темы: Линейная алгебра

URL
вторник, 20 декабря 2016
20:12

10 проблема гилберта

все записи пользователя в сообществе вейко
что толку горевать?
правильно я понимаю отсутствие общего метода
означает ли что существует такое уравнение для которого не возможно выяснить имеет оно диафантово решение или нет?

@темы: Высшая алгебра

URL
понедельник, 19 декабря 2016
21:14

Условие, устанавливающее сходимость числового ряда

все записи пользователя в сообществе alligator76
Является ли `root(n)(a_(n+1))<1` условием, устанавливающим сходимость числового ряда?

Очевидно, что `root(n)(a_(n))<1` - это условие сходимости радикального признака Коши. Мне кажется, что при `n+1` сходимость не изменяется. Я прав?

@темы: Ряды

URL