`int_{|z - 1| = 1} sin(pi*z)/((z^2 - 1)^2)dz`
В данном случае, у меня две существенно особые точки. И только одна из них входит в контур. Понимаю, что надо выудить из ряда Лорана `c_{-1}` член, но не очень понимаю. Надо в любом случае раскладывать полностью всю функцию в ряд Лорана? Не зависимо от того, сколько существенно особых точек и сколько из них входят в контур? Если так, то надо разбить дробь на простые
`1/((z^2 - 1)^2) = 1/((z - 1)^2(z + 1)^2) = 1/4(1/(z + 1) + 1/((z + 1)^2) - 1/(z - 1) + 1/((z - 1)^2))`
И дальше, насколько я понимаю, нам надо раскладывать функцию по степеням `z - 1`.
Поэтому, перед разложением, мне надо преобразовать две первые дроби
`1/(1 + z) = 1/(1 - (z - 1)/(-1) + 1) = 1/2(1/(1 - (z - 1)/(-2)))`
`1/(1 + z)^2 = 1/4(1/(1 - (z - 1)/(-2)))^2`
Для второго случая у меня вроде как есть разложение.
Дальше синус... Ну наверное можно воспользоваться формулой приведения
`-sin(pi(z - 1)) = -sin(pi*z - pi) = sin(pi*z)`
Ну а для
`-sin(pi(z - 1))` разложение есть.
В верном направлении иду? Пока не буду раскладывать. Вдруг ошибаюсь))
В данном случае, у меня две существенно особые точки. И только одна из них входит в контур. Понимаю, что надо выудить из ряда Лорана `c_{-1}` член, но не очень понимаю. Надо в любом случае раскладывать полностью всю функцию в ряд Лорана? Не зависимо от того, сколько существенно особых точек и сколько из них входят в контур? Если так, то надо разбить дробь на простые
`1/((z^2 - 1)^2) = 1/((z - 1)^2(z + 1)^2) = 1/4(1/(z + 1) + 1/((z + 1)^2) - 1/(z - 1) + 1/((z - 1)^2))`
И дальше, насколько я понимаю, нам надо раскладывать функцию по степеням `z - 1`.
Поэтому, перед разложением, мне надо преобразовать две первые дроби
`1/(1 + z) = 1/(1 - (z - 1)/(-1) + 1) = 1/2(1/(1 - (z - 1)/(-2)))`
`1/(1 + z)^2 = 1/4(1/(1 - (z - 1)/(-2)))^2`
Для второго случая у меня вроде как есть разложение.
Дальше синус... Ну наверное можно воспользоваться формулой приведения
`-sin(pi(z - 1)) = -sin(pi*z - pi) = sin(pi*z)`
Ну а для
`-sin(pi(z - 1))` разложение есть.
В верном направлении иду? Пока не буду раскладывать. Вдруг ошибаюсь))
-
-
24.12.2016 в 13:50Эмм... а с какого перепугу простые полюсы стали "существенно" особыми точками?...
В верном направлении иду? - зачем так сложно?...
Понятно, что в точке `z = 1` синус имеет ноль первого порядка... знаменатель - ноль второго порядка... следовательно, это простой полюс...
Чтобы вычислить вычет в простом полюсе достаточно вычислить предел `lim{ z \to 1} (z - 1)*f(z)`...
И всех делов-то...
-
-
24.12.2016 в 13:58достаточно вычислить предел
только там вроде производную еще первую надо брать у функции в этом пределе.
Ну хорошо. А если ноль был бы первого порядка, то пришлось бы использовать ряд Лорана?
(UPD)Надо было определение прочитать существенно особой точки... Там предел же существует.
-
-
24.12.2016 в 14:05Производные считают когда у Вас полюс большего порядка... а тут первого ...
А если ноль был бы первого порядка
Где?... в знаменателе?...
Ну, тогда у Вас вообще аналитическая функция была бы... тогда ответ вообще стразу писать принято...
-
-
24.12.2016 в 14:13Вот если бы у Вас был полюс 10 порядка, то считать 9 производную не очень хочется...
А для малых порядков обычно считают предел...
И ещё...
Поэтому, перед разложением, мне надо преобразовать две первые дроби
`1/(1 + z) = 1/(1 - (z - 1)/(-1) + 1) = 1/2(1/(1 - (z - 1)/(-2)))`
Вот это Вы зачем вообще делали?... это аналитические функции, которые не дают особенностей в области интегрирования...
-
-
24.12.2016 в 14:14Да. Тогда ответ сразу 0, так как в контуре нет особых точек.
Как-то просто не ожидал я такой пример. Что полюс у меня оказывается первого порядка, раз в знаменателе второго, а синус дает ноль первого. Хотя это вроде логично.
Ну хорошо. Если на будущее. Может же быть такой пример, где у меня несколько существенно особых точек, причем в контуре находятся не все? Как тогда действовать? Или такого не бывает? (ну или по крайней мере студентам не дают такие примеры)))
-
-
24.12.2016 в 14:16ну мне же надо получить разложение по степеням `z - 1`. А разложение в ряд `1/(1 + z)` не даст же нужного мне результата. Или я не понимаю чего?
-
-
24.12.2016 в 15:07Зачем раскладывать аналитическую функцию, если Вы знаете, что Тогда ответ сразу 0?...
Может же быть такой пример, где у меня несколько существенно особых точек
если особых точек несколько (не важно полюсов или существенно особых), то вычет в каждой точке считают отдельно... и там уже смотрят, что удобнее использовать - пределы, ряды или ещё что-нибудь...
-
-
24.12.2016 в 15:36Хорошо, понял))
Зачем раскладывать аналитическую функцию, если Вы знаете, что Тогда ответ сразу 0?...
Не учел.
В моем случае тогда получается, если использовать ряд Лорана, то достаточно только синус разложить по степеням `(z - 1)`? Ну еще домножить на `-1/(z - 1) + 1/(z - 1)^2`. Оттуда уже доставать коэффициент `c_{-1}`
-
-
24.12.2016 в 15:46в общем, да...
-
-
24.12.2016 в 15:53-
-
24.12.2016 в 23:16-
-
24.12.2016 в 23:19В качестве небольшого дополнения...
Известно, что синус раскладывается по нечётным степеням... следовательно, получить минус первую степень можно только при делении на чётную степень... то есть, в данном примере, на `1/(z - 1)^2`...