Доказать, что специальная линейная группа порождается множеством матриц.

[zodiyelite]

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что `SL_2(ZZ) = <((0,-1),(1,0)), ((1,1),(0,1))>`.
Не до конца понимаю "на пальцах", что значит группа, порожденная множеством.
Если `a = ((0,-1),(1,0))`, то `a^2 = ((-1,0),(0,-1)), a^3 = ((1,0),(0,1))`
`b=((1,1),(0,1)), b^n = ((1,n),(0,1))`.
Т.е. надо доказать, что любая матрица из `SL_2(ZZ)` представима в виде `\alpha a^k * \beta b^m`?

@темы: Теория групп, Матрицы, Высшая алгебра

Comments

[All_ex]

представима в виде `\alpha a^k * \beta b^m`?
Ну, умножения на число у Вас нет... как я понимаю это мультипликативная группа, то есть говорится только про умножение и обращение матриц...

Кроме того, умножение матриц некоммутативно... поэтому тут не просто степени...
Если заглянуть в определение из википедии "Порождающее множество группы G (или генератор группы G) — это подмножество S в G, такое, что каждый элемент G может быть записан как произведение конечного числа элементов S и их обратных." ... то есть элементы должны быть представлены в виде произведения `A_1 * A_2 * ... * A_k`, где каждый множитель - это либо данные Вам матрицы `((0,-1),(1,0))` и `((1,1),(0,1))`, либо обратные к ним `((0,-1),(1,0))^{-1} = ((0,1),(-1,0))` и `((1,1),(0,1))^{-1} = ((1,-1),(0,1))` ....

Про доказательство - нашлось на английском...

[zodiyelite]

All_ex, спасибо большое за ссылку, буду разбираться

[All_ex]

welcome...