Всероссийская олимпиада школьников. Нижегородская область Департамент образования Администрации города Сарова 2018-...

02.02.2014 в 09:49

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

7.1. Две соседних стороны прямоугольника относятся как 3:7. Чему равна площадь прямоугольника, если его периметр равен 40 см?
7.2. Петя сказал Васе: «Я задумал двузначное число. Если переставить его цифры, то получится число, которое в сумме с задуманным даст 143. Отгадай задуманное число, если известно, что оно простое». Какое число задумал Петя?
7.3. Дано 300-значное число 22…21…100…0, содержащее 100 двоек, 100 единиц и 100 нулей. Можно ли переставить цифры в этом числе так, чтобы получился квадрат натурального числа?
7.4. На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a + 2b и b + 2a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел?
7.5. В 7а классе 30 человек. Может ли оказаться так, что у каждого ученика ровно три друга в классе?

Нижний Новгород. Вид на Кремль

URL

02.02.2014 в 09:50

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1. Петя сказал Васе: «Я задумал двузначное число. Если переставить его цифры, то получится число, которое в сумме с задуманным даст 143. Отгадай задуманное число, если известно, что оно простое». Какое число задумал Петя?.
8.2. Дано сто чисел: `1, 2^2, 3^2, ..., 100^2`. Вычислим `98` разностей: `a_1=3^2-1, a_2=4^2-2^2, ..., a_98=100^-98^2`. Чему равна сумма всех этих разностей?
8.3. Дано 300-значное число 22…21…100…0, содержащее 100 двоек, 100 единиц и 100 нулей. Можно ли переставить цифры в этом числе так, чтобы получился квадрат натурального числа?
8.4. Существует ли равнобедренная трапеция, у которой средняя линия равна диагонали?
8.5. На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа 2a + 3b и 2b + 3a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел?

Нижний Новгород. Вид на Стрелку от Благовещенского монастыря

URL

02.02.2014 в 09:50

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1. Дано сто чисел: `1, 2^2, 3^2, ..., 100^2`. Вычислим `98` разностей: `a_1=3^2-1, a_2=4^2-2^2, ..., a_98=100^2-98^2`. Чему равна сумма всех этих разностей?
9.2. Существует ли равнобедренная трапеция, у которой средняя линия равна диагонали?
9.3. Даны положительные числа `a > b`. Можно ли утверждать, что `sqrt(a+root 4 b) > sqrt(b+root 4 a)`?
9.4. На сторонах `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` взяты соответственно точки `C_1`, `A_1` и `B_1` так, что `C_1A_1 || АC`. Докажите, что `S_{A_1B_1C_1} <= 1/4 S_{ABC}`.
9.5. На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа `a`, `b`, а вместо них записать числа `a^3 + 6b` и `b^3 + 6a`. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны а) все 10 одинаковых чисел? б) хотя бы три одинаковых числа?

Нижний Новгород. Храм Александра Невского

URL

02.02.2014 в 09:50

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1. Даны положительные числа `a > b`. Можно ли утверждать, что `sqrt(a+root 4 b) > sqrt(b+root 4 a)`?
10.2. На доске записано 10 чисел: `1^2, 2^2, ..., 10^2`. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа `a`, `b`, а вместо них записать числа `(a+b)/2` и `sqrt(ab)`. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций все записанные на доске числа будут больше `40`?
10.3. Найдите все значения параметра `а`, такие, что уравнение `x^2-4ax+5a=0` имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна `6`.
10.4. В треугольник `ABC` вписана окружность с центром `О`. Точки `M` и `N` – точки касания вписанной окружности со сторонами `AB` и `АС` соответственно. Найдите `/_А`, если известно, что `AO = 2 MN`.
10.5. Докажите, что уравнение `y^2-x^4=2013x^5` имеет бесконечное множество решений в натуральных числах `x`, `у`.

Нижний Новгород. Правобережье Оки. Благовещенский монастырь

URL

02.02.2014 в 09:53

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1. Решите уравнение `cos^2(sqrt(2)x) - sin^2 (2x) = 1`.
11.2. Найдите все значения параметра `а`, такие, что уравнение `x^2-4ax+5a=0` имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна `6`.
11.3. Дана функция `f(x)=sqrt(x^2-2x)`. Найдите область определения функции `f(f(x))`.
11.4. На боковых ребрах `AD`, `BD` и `CD` тетраэдра `ABCD` взяты соответственно точки `A_1`, `B_1`, `C_1` так, что плоскость `A_1B_1C_1` параллельна основанию `ABC`. Точка `D_1` лежит в основании `ABC`. Докажите, что объем тетраэдра `A_1B_1C_1D_1` не превосходит `4/27 V`, где `V` – объем тетраэдра `ABCD`.
11.5. Докажите, что уравнение `y^2-x^4=2013x^5` имеет бесконечное множество решений в натуральных числах `x`, `у`.

Нижний Новгород. Главный ярмарочный дом

URL

02.02.2014 в 09:58

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Нижний Новгород. Музей истории Горьковского автомобильного завода

URL

02.02.2014 в 09:58

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Нижний Новгород. Нижегородский музей паровозов "Паровозы России"

URL

02.02.2014 в 09:59

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Чкаловск. Ангар музея Валерия Чкалова

URL

10.01.2017 в 12:42

All_ex

Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40

Спасибо Гостю за условия.

Всероссийская олимпиада по математике
Муниципальный этап 2016-2017 уч.г.
Нижегородская область

7 класс

7.1. В 7а классе по списку `60%` девочек. Когда из-за болезни в класс не пришли два мальчика и одна девочка. То девочек присутствовало `62,5%`. Сколько в классе по списку девочек и мальчиков?

7.2. В трехзначном числе зачеркнули первую цифру и получили двузначное число. Если на это двузначное число поделить исходное, то частное будет равно `9`, а остаток `8`. Найдите исходное число. (Приведите все возможные решения.)

7.3. На ребрах куба в некотором порядке расставили числа `1, 2, ..., 12` и для каждой грани подсчитали сумму четырех чисел на ее ребрах. Докажите, что есть грань, для которой эта сумма больше `25`.

7.4. Целые числа `m` и `n` удовлетворяют равенству `9*m = 11*n`. Докажите, что `m + n` делится на `20`.

7.5. Дан прямоугольник, отличный от квадрата, у которого численное значение площади втрое больше периметра. Докажите, что одна из сторон прямоугольника больше `12`.

топик для обсуждения решений

Нижний Новгород. Рождественская (Строгановская) церковь, построенная в XVIII веке

URL

10.01.2017 в 12:44

All_ex

Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40

Спасибо Гостю за условия.

Всероссийская олимпиада по математике
Муниципальный этап 2016-2017 уч.г.
Нижегородская область

8 класс

8.1. В 8а классе по списку `60%` девочек. Когда из-за болезни в класс не пришли два мальчика и одна девочка. То девочек присутствовало `62,5%`. Сколько в классе по списку девочек и мальчиков?

8.2. На шахматную доску поставили `8` ладей, которые не бьют друг друга. Докажите, что в любом «клетчатом» прямоугольнике размером `4 xx 5` (клеток) есть хотя бы одна ладья.

8.3. Дан остроугольный треугольник `ABC`. Точка `M` – точка пересечения его высот. Найдите угол `A`, если известно, что `AM = BC`.

8.4. Докажите, что для всех натуральных `n > 1` число `n^{2016} + 4` составное.

8.5. Дан прямоугольник, отличный от квадрата, у которого численное значение площади втрое больше периметра. Докажите, что одна из сторон прямоугольника больше `12`.

топик для обсуждения решений

Нижний Новгород. Рождественская (Строгановская) церковь, Канавинский мост и Ярмарочный дом

URL

10.01.2017 в 12:45

All_ex

Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40

Спасибо Гостю за условия.

Всероссийская олимпиада по математике
Муниципальный этап 2016-2017 уч.г.
Нижегородская область

9 класс

9.1. а) Дан треугольник, у которого высоты равны `4`, `5` и `6`. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный? б) Существует ли треугольник, у которого высоты равны `2`, `3` и `6`?

9.2. На шахматную доску поставили `8` ладей, которые не бьют друг друга. Докажите, что в любом «клетчатом» прямоугольнике размером `4 xx 5` (клеток) есть хотя бы одна ладья.

9.3. Дан остроугольный треугольник `ABC`. Точка `M` – точка пересечения его высот. Найдите угол `A`, если известно, что `AM = BC`.

9.4. Докажите, что существует натуральное число, которое делится на `5^{100}` и состоит (в десятичной записи) только из нечётных цифр.

9.5. Дан прямоугольник, у которого численное значение площади больше утроенного периметра. Докажите, что его периметр больше `48`.

топик для обсуждения решений

Нижний Новгород. Вид на Чкаловскую лестницу и стену Кремля

URL

10.01.2017 в 12:53

All_ex

Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40

Спасибо Гостю за условия.

Всероссийская олимпиада по математике
Муниципальный этап 2016-2017 уч.г.
Нижегородская область

10 класс

10.1. а) Дан треугольник, у которого высоты равны `4`, `5` и `6`. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный? б) Существует ли треугольник, у которого высоты равны `2`, `3` и `6`?

10.2. Докажите неравенство для положительных чисел `x` и `y`: `sqrt(x^2 + y) + sqrt(y^2 + x) >= sqrt(x^2 + x) + sqrt(y^2 + y)`.

10.3. Можно ли разбить квадрат `10 xx 10` на `100` равных прямоугольников, у каждого из которых длины неравных сторон отличаются на единицу?

10.4. Докажите, что существует натуральное число, которое делится на `5^{100}` и состоит (в десятичной записи) только из нечётных цифр.

10.5. Дана окружность единичного радиуса с центром `O`. Точка `A` находится на расстоянии `A` от центра (`0 < a < 1`). Через точку `A` проводят всевозможные хорды `MN`.
а) Найдите длину наименьшей хорды `MN`. б) Найдите наибольшую площадь треугольника `OMN`.

топик для обсуждения решений

Нижний Новгород. Памятника Минину и Пожарскому

URL

10.01.2017 в 12:55

All_ex

Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40

Спасибо Гостю за условия.

Всероссийская олимпиада по математике
Муниципальный этап 2016-2017 уч.г.
Нижегородская область

11 класс

11.1. Решите неравенство `(x + sin 5)/(sin 6) < (sin 5)/(x + sin 6)`.

11.3. Можно ли разбить квадрат `10 xx 10` на `100` равных прямоугольников, у каждого из которых длины неравных сторон отличаются на единицу?

11.4. Существуют ли удовлетворяющие уравнению `x/y + y/z + z/x =3`
а) различные натуральные числа `x, y, z` ? б) различные целые числа `x, y, z` ?

11.5. Дана окружность единичного радиуса с центром `O`. Точка `A` находится на расстоянии `a` от центра (`0 < a < 1`). Через точку `A` проводят всевозможные хорды `MN`.
а) Найдите длину наименьшей хорды `MN`. б) Найдите наибольшую площадь треугольника `OMN`.

топик для обсуждения решений

Нижний Новгород. Один из трех нижегородских домов XVII века – дом Олисова

URL

28.10.2018 в 15:46

Гость

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1. Даны положительные числа `a > b`. Можно ли утверждать, что `sqrt(a+root 4 b) > sqrt(b+root 4 a)`?
10.2. На доске записано 10 чисел: `1^2, 2^2, ..., 10^2`. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа `a`, `b`, а вместо них записать числа `(a+b)/2` и `sqrt(ab)`. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций все записанные на доске числа будут больше `40`?
10.3. Найдите все значения параметра `а`, такие, что уравнение `x^2-4ax+5a=0` имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна `6`.
10.4. В треугольник `ABC` вписана окружность с центром `О`. Точки `M` и `N` – точки касания вписанной окружности со сторонами `AB` и `АС` соответственно. Найдите `/_А`, если известно, что `AO = 2 MN`.
10.5. Докажите, что уравнение `y^2-x^4=2013x^5` имеет бесконечное множество решений в натуральных числах `x`, `у`.

Есть ответы?

URL

28.10.2018 в 17:48

Гость

Посмотрите на сайте департамента образования Сарова

URL

07.12.2018 в 17:28

Гость

Муниципальный этап 2018-19 г.г.

Департамент образования Администрации города Сарова

2018-2019

Тексты заданий муниципального этапа на сайте Департамента образования размещаться не будут, поскольку являются интеллектуальной собственностью ВУЗов-разработчиков. Информация о публикации текстов на сторонних сайтах появится позже.

URL