При каких ограничениях на `p` и `q` уравнение `x^(2 * n + 1) + p * x + q` имеет ровно три различных вещественных корня
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q` должна иметь два различных вещественных корня, т.е. ` (2* n + 1) * x^(2*n) + p = 0` откуда `p < 0` и корни производной `x_1 = -(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))` , `x_2 = +(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))`.
т.к `lim_(x->infty) P(x) = -infty` , то `P(x_1) > 0` , а `P(x_2) < 0` откуда получаем `q > p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) ` , `q < -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1)`
Окончательно `p < 0 ` и `q in (p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) , -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1))`
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q` должна иметь два различных вещественных корня, т.е. ` (2* n + 1) * x^(2*n) + p = 0` откуда `p < 0` и корни производной `x_1 = -(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))` , `x_2 = +(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))`.
т.к `lim_(x->infty) P(x) = -infty` , то `P(x_1) > 0` , а `P(x_2) < 0` откуда получаем `q > p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) ` , `q < -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1)`
Окончательно `p < 0 ` и `q in (p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) , -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1))`
-
-
11.01.2017 в 20:08Разве, что фразы немного можно поправить...
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q`
В начале бы добавить "Если есть три корня, то..." ...
должна иметь два различных вещественных корня
Ну, вообще говоря "не менее двух" ...
А дальше рассматривая уравнение говорите, что корней ровно два при `p < 0` и дальше по тексту...
-
-
11.01.2017 в 20:22-
-
11.01.2017 в 20:26