Обсуждение решений

[All_ex]

По просьбам Гостя создаю топик для обсуждения решений муниципального этапа Нижегорожской областной олимпиады 2016-2017 года.

Условия можно посмотреть в топике олимпиады...

Присоединяйтесь все желающие...

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Гость]

7.1. В 7а классе по списку 60% девочек. Когда из-за болезни в класс не пришли два мальчика и одна девочка. То девочек присутствовало 62,5%. Сколько в классе по списку девочек и мальчиков?

Решение
Пусть по списку в классе d девочек и m мальчиков. Из условий задачи имеем два уравнения: d/(d+m)=0,6 и (d-1)/(d+m-3)=0,625. Из первого уравнения 2d=3m. Подставив m=2d/3 во второе уравнение и решая его, получим d=21 , и тогда m=14.

Ответ 21 девочка и 14 мальчиков.

[Гость]

7.2. В трехзначном числе зачеркнули первую цифру и получили двузначное число. Если на это двузначное число поделить исходное, то частное будет равно 9, а остаток 8. Найдите исходное число. (Приведите все возможные решения.)

Решение
Пусть х – первая цифра, y – двузначное число после зачеркивания х. Тогда имеем уравнение 100x+y=9y+8 или 2y+2=25x. Значит х – чётное число; x=2z для некоторого целого z (z<=4). Поэтому y+1=25z , и для числа y+1 возможные значения: 25; 50; 75; 100 , а соответствующие значения числа х могут быть равны 2; 4; 6; 8.
Ответ 224; 249; 674; 899 .

[Гость]

7.3. На ребрах куба в некотором порядке расставили числа 1,2, …,12 и для каждой грани подсчитали сумму четырех чисел на ее ребрах. Докажите, что есть грань, для которой эта сумма больше 25.

Доказательство
Подсчитаем на каждой грани соответствующую сумму и затем сложим эти все суммы для всех шести граней. Получим в результате (1+2+…+12)х2 (умножаем на 2 так как при таком подсчёте каждое ребро будет засчитано дважды). Итак, общая сумма 156 , и тогда хотя бы для одной грани ее сумма чисел не меньше 156:6=26 (в противном случае мы получили бы общую сумму не больше 25х6=150<156).

[Гость]

7.4. Целые числа m и n удовлетворяют равенству 9m=11n. Докажите, что m+n делится на 20.

Доказательство
Поскольку числа 9 и 11 взаимно просты, то число m должно делиться на 11, а число n – на 9. Пусть m=11k , тогда 9(11к)=11n или n=9k . Поэтому m+n=11r+9k=20k .

[All_ex]

Внесу лепту...

7.5. Дан прямоугольник, отличный от квадрата, у которого численное значение площади втрое больше периметра. Докажите, что одна из сторон прямоугольника больше `12`.

Поскольку `a*b = 6*(a + b)`, то `(a - 6)*(b - 6) = 36` ... стороны разные , следовательно, один из множителей больше шести, а соответствующая сторона больше 12...

[All_ex]

8.2. На шахматную доску поставили `8` ладей, которые не бьют друг друга. Докажите, что в любом «клетчатом» прямоугольнике размером `4 xx 5` (клеток) есть хотя бы одна ладья.

Если вырезать такой прямоугольник, то на доске останется 4 вертикали и 3 горизонтали, чего не хватает для того, чтобы поставить 8 ладей...

[Гость]

7.5. Дан прямоугольник, отличный от квадрата, у которого численное значение площади втрое больше периметра. Докажите, что одна из сторон прямоугольника больше 12.

Доказательство
Пусть а и b – стороны прямоугольника (для определённости a6 . т.е. a<6 , b>6 .

[Гость]

7.5. Дан прямоугольник, отличный от квадрата, у которого численное значение площади втрое больше периметра. Докажите, что одна из сторон прямоугольника больше 12.

Доказательство
Пусть а и b – стороны прямоугольника (для определённости a6 . т.е. a<6 , b>6 .

[Гость]

что-то не постится правильно ...

[All_ex]

Гость, что-то не постится правильно ...
При наборе формул отделяйте знаки неравенств пробелами... иначе они воспринимаются тегами и текст пропадает...

[All_ex]

8.4. Докажите, что для всех натуральных `n > 1` число `n^{2016} + 4` составное.

Понятно, что если `n` чётное, то число тоже чётное...

Числа вида `n = a*10 + 1`, в любой степени тоже заканчиваются на `1`...
Рассмотрим последнюю цифру степеней чисел вида `n = a*10 + 3`... это `3 - 9 - 7 - 1` и далее по кругу... так как `2016` делится на `4`, то у таких чисел последняя цифра `1`...
Аналогично получаем, что при возведении в `2016` степень чисел `n = a*10 + 7` и `n = a*10 + 9` последняя цифра будет 1...
ИТОГО, для рассмотренных чисел `n^{2016} + 4` будет оканчиваться на `5`...

Осталось рассмотреть числа вида `n = a*10 + 5`... но там такого простого фокуса не получается... ... подумаю ещё...

.....

ЗЫ: я подсмотрел в ответы... хотелось придумать, что-нибудь иное...

[Груша Вильямс]

All_ex, можно ведь сразу по формуле `a^2 + b^2 = (a + sqrt(2ab) + b)(a - sqrt(2ab) + b)` или нет?
А да, чушь написал `sqrt(2ab) = 2 sqrt(n^2013)`, придётся ждать 2020 - ый для такого

[All_ex]

Груша Вильямс, можно ведь сразу по формуле `a^2 + b^2 = (a + sqrt(2ab) + b)(a - sqrt(2ab) + b)` или нет?
Я знаю про этот метод...

...

Я же писал, что подсмотрел в ответы...
Просто хотелось чего-то иного...

А да, чушь написал `sqrt(2ab) = 2 sqrt(n^2013)`, придётся ждать 2020 - ый для такого
Дык, в условии 2016 степень стоит... она делится на 4, так что всё в порядке...

[Груша Вильямс]

All_ex, вот это я выдал - корень нормально не извлек... Это во всём программирование виновато, 5 месяцев (весь семестр) пытался через статический массив реализовать функцию динамического (можно добавлять элементы) и пришел к выводу, что это невозможно.

[Гость]

8.4. Докажите, что для всех натуральных `n > 1` число `n^{2016} + 4` составное.Понятно, что если `n` чётное, то число тоже чётное...Числа вида `n = a*10 + 1`, в любой степени тоже заканчиваются на `1`...Рассмотрим последнюю цифру степеней чисел вида `n = a*10 + 3`... это `3 - 9 - 7 - 1` и далее по кругу... так как `2016` делится на `4`, то у таких чисел последняя цифра `1`...Аналогично получаем, что при возведении в `2016` степень чисел `n = a*10 + 7` и `n = a*10 + 9` последняя цифра будет 1...ИТОГО, для рассмотренных чисел `n^{2016} + 4` будет оканчиваться на `5`...Осталось рассмотреть числа вида `n = a*10 + 5`... но там такого простого фокуса не получается... ... подумаю ещё...

Здесь много проще сначала выделить полный квадрат суммы n^2016 + 4*n^1008 + 4 - 4*n^1008 =
потом разложить как разность квадратов = (n^1008)^2 - (2*n^504)^2 =
= (n^1008 - 2*n^504)*(n^1008 + 2*n^504) .
Вот и всё!!

[All_ex]

Гость, Здесь много проще ... Вот и всё!! -

...

про это уже написано в комментарии Груша Вильямс ... а мне просто хотелось чего-то другого...