Пусть $u$ и $v$ --- действительные числа такие, что $(u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8.$ Определите, какое из двух чисел $u$ или $v$ больше. Ответ обоснуйте. |  |
В остроугольном треугольнике $ABC$ длины сторон удовлетворяют неравенствам $AB < AC < BC.$ Точка $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC,$ точка $O$ --- центр его описанной окружности. Докажите, что прямая $IO$ пересекает отрезки $AB$ и $BC$. | |
Пусть $P(z)= z^n + c_1 z^{n-1} + c_2 z^{n-2} + \cdots + c_n$ многочлен с действительными коэффициентами $c_k$ и комплексной переменной $z$. Предположим, что $|P(i)| < 1$. Докажите, что существуют действительные числа $a$ и $b$ такие, что $P(a + bi) = 0$ и $(a^2 + b^2 + 1)^2 < 4 b^2 + 1$. | |
20 членов теннисного клуба запланировали проведение 14 встреч в одиночном разряде так, чтобы каждый член клуба принял участие не менее чем в одной встрече. Докажите, среди запланированных встреч найдутся шесть таких, что в них примут участие 12 различных членов клуба. | |
Для каждого положительного целого числа $n$ определим $S_n = 1 + \frac 12 + \frac 13 + \cdots + \frac 1n$ $T_n = S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_n$ $U_n = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{3} + \frac{T_3}{4} + \cdots + \frac{T_n}{n+1}$ Найдите с обоснованием целые числа $0 < a, b, c, d < 1000000$ такие, что $T_{1988} = a S_{1989} - b$ и $U_{1988} = c S_{1989} - d$. | |
Пусть $p(x) = (1-x)^a(1-x^2)^b(1-x^3)^c\cdots(1-x^{32})^k$, где $a, b, \cdots, k$ --- целые числа. После приведения многочлена к стандартному виду оказалось, что коэффициент при $x^1$ равен $-2,$ а коэффициенты при $x^2$, $x^3$, ..., $x^{32}$ равны нулю. Найдите $k$. | |
В треугольнике $ABC$ центром вписанной окружности является точка $I$. Покажите, центры описанных окружностей треугольников $IAB$, $IBC$ и $ICA$ лежат на окружности, центр которой является центром описанной окружности треугольника $ABC$. | |
Пусть $X$ обозначает множество $\{ 1, 2, \cdots, 20\}$ и пусть $P$ будет множеством всех девятиэлементных подмножеств $X.$ Покажите, что для любого отображения $f: P\mapsto X$ найдется десятиэлементное подмножество $Y$ множества $X$ такое, что $f(Y-\{k\})\neq k$ для любого $k$ из $Y$. | |
Многочлен с действительными коэффициентами $x^3+ax^2+bx+c$ имеет три действительных корня $r\ge s\ge t.$ Покажите, что $k=a^2-3b\ge 0$ и $\sqrt k\le r-t$. | |
Периодическая десятичная дробь $0.ab\cdots k\overline{pq\cdots u}$ равна $m/n,$ где $m$ и $n$ взаимно простые числа, такая, что перед повторяющейся частью есть по крайней мере одна цифра. Покажите, что $n$ делится на 2 или 5 (или на оба эти числа). (Например, $0.011\overline{36}=0.01136363636\cdots=\frac {1}{88}$ и 88 делится на 2.) | |
Пусть $\mathbb{R}^+$ обозначает множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такие, что $f(x + f(y)) = yf(xy + 1),$ для всех $x, y > 0.$ |  |
Пусть $a$ и $b$ --- положительные целые взаимно простые числа. Положительное целое число $n$ назовём неподходящим, если его нельзя представить в виде $n = ax + by,$ где $x$ и $y$ --- неотрицательные целые числа. Докажите, что если число $n$ неподходящее и $n < \frac{ab}{6},$ то существует целое число $k \ge 2$ такое, что $kn$ является неподходящим. | |
Все точки сферы радиуса 4 окрашены в один из четырёх разных цветов. Докажите, что на сфере найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно $4\sqrt{3}$ или $2\sqrt{6}. Примечание: Под расстоянием между точками сферы в данном случае понимается длина соединяющего их отрезка. | |
Пусть $2n+1$ фишек, белых и черных, выложили в ряд ($n\ge 1$). Назовём фишку сбалансированной, если сумма количества белых фишек слева от неё и количества чёрных фишек справа от неё равна $n.$ Определите, является ли количество сбалансированных фишек чётным или нечётным. Ответ обоснуйте. | |
