Угол - это место, где я провёл часть своего детства

[wpoms.]

Точка $D$ на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана так, что $AD = AC.$ Пусть $P$ и $Q$ будут, соответственно, основаниями перпендикуляров, опущенных из $C$ и $D$ на сторону $AB.$ Известно, что $AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2$. Найдите величину угла $ABC.$

@темы: Планиметрия

---

Неравенство

[yapogajiva]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как решить следующее задание:
1.Решить неравенство -2(x^2)sin2x>=x^2.
x^2+4x^2sinx*cosx<=0
x^2(1+2sin(2x))<=0
Нули:
x1=0
x2=pi*n-7/12pi
x3=pi*n-pi/12

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ, Иррациональные уравнения (неравенства)

---

Показательно-степенное уравнение

[alligator76]

Доброго времени суток!

Требуется решить уравнение:

`(x-3)^(x^2+x)=(x-3)^(7x-5)`

Насколько мне известно, показательно-степенные уравнения решают в предположении, что основание степени положительно. В данном случае `x-3>0`.

Но при решении квадратного уравнения `x^2+x=7x-5` получаем корень `x=1`, который не входит в ОДЗ, но является корнем исходного уравнения, так как `-2^2=-2^2`.

Так же получаем корень `x=3`, не входящий в ОДЗ, если приравниваем основание степени к нулю (но насколько я понимаю, это допустимо)

Прошу помощи разобраться, можно ли указывать корни `x=1` и `x=3` в ответе.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

Геометрический смысл производной

[yapogajiva]

Парабола является графиком производной функции y=f(x). Сколько точек экстремума имеет функция y=f(x)?

@темы: Производная, Касательная

---

Геометрический смысл производной

[yapogajiva]

К параболе y=2x^2-5x+3 через начало координат проведены две касательные с угловыми коэффициентами k1 и k2. Найдите произведение k1*k2.

y'=4x-5
Xв=1.25
Как найти k1 и k2?

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, ЕГЭ, Касательная

---

Метод максимального правдоподобия

[alligator76]

Добрый день!
Задание следующее:

Результаты 100 независимых наблюдений представлены в виде вариационного ряда:

`x_i` 1 2 3 4 5 6 7

`n_i` 5 10 20 35 10 15 5

Считая, что случайная величина Х распределена по закону с плотностью
`f(x)=2a^2xe^(-a^2x^2)`, `x>=0`

Найти оценку параметра `a` по методу максимального правдоподобия.

Раньше я решал подобные задачи, но в них была только дискретная случайная величина `x_1, x_2, ..., x_k`.
В таком случае функция правдоподобия была равна

`L(x_1,...,x_k,a)=f(x_1,a)...f(x_k,a)`.

Но здесь мы имеем вариационный ряд. Интуиция подсказывает, что должно быть так:

`L(n_1x_1,...,n_kx_k,a)=f(n_1x_1,a)...f(n_kx_k,a)`.

Верны ли мои догадки?

@темы: Теория вероятностей

---

Level up

[wpoms.]

Юлиан пишет в клетки доски размером $1\times100$ все целые числа от 1 до 100 включительно в некотором порядке, без повторений. Из каждых трех последовательных клеток он отмечает клетку, в которой записано среднее по величине число из трёх чисел, записанных в этих клетках. Например, если в трёх клетках записаны числа 7, 99 и 22, то он отметит клетку с числом 22. Пусть $S$ будет суммой чисел в отмеченных клетках. Найдите минимальное значение, которое может принимать $S.$ Пояснение. Каждое число из отмеченных клеток суммируется однократно, но клетки могут отмечаться более одного раза.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Биномиальные коэффициенты

[rom7]

Прошу подсказать,

Дано выражение

7С20 - 8С20 + 9С20 - 10С20 +....+19С20 - 20С20

Запись не очень нормальная. Имеются ввиду биномиальные коэффициенты из комбинаторики.

Интуитивно чувствую, что надо применить вторую формулу
mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000504/pic/490_07.jpg

т.к. знаки чередующиеся.

Я пришел к тому, что данное выражение равно
0C20 - 1C20 + 2C20 - 3C20 + 4C20 - 5C20 + 6C20

А дальше тупик(

@темы: Комбинаторика

---

Игра

[wpoms.]

Алекс и Биби играют в игру. Алекс выбирает натуральное число $k$ меньшее или равное 1000. Затем Биби составляет коллекцию $B,$ содержащую более $k$ целых чисел из диапазона от 0 до 1000 включительно, числа в коллекции могут повторятся. После этого Алекс многократно применяет к $B$ такую операцию: он выбирает $k$ чисел из $B$ и меняет их. Каждое выбранное число $b$ он заменяет на число $b+1,$ если $b$ меньше $1000,$ и заменяет $b$ на 0, если $b = 1000.$ Алекс выигрывает, если после выполнения нескольких операций все числа в коллекции $B$ станут равными 0, если он не сможет добиться этого результата, то выиграет Биби. Найдите все $k$ такие, что Алекс сможет гарантированно выиграть, вне зависимости от выбора Биби чисел для коллекции.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Две равномерные случайные величины

[alligator76]

Добрый день!
Задача следующая:

Случайные величины `xi` и `eta` независимы и распределены по равномерным законам `R(0,1)` и `R(1,2)` соответственно. Найдите плотность распределения случайной величины `zeta=5xi+3` и дисперсию `D(5xi+3eta)` .

Мне кажется, что авторы задачи допустили опечатку в том месте, где просят найти плотность распределения случайной величины `zeta=5xi+3`, а не случайной величины `zeta=5xi+3eta`. Ну ладно, будем решать так, как есть.

С дисперсией проблем у меня не возникло. Я нашел дисперсии у обоих равномерных величин по формуле для дисперсии равномерного распределения `DX=(b-a)^2/12` и применил свойство дисперсии:

`D(5xi+3eta)=5^2D(xi)+3^2D(eta)=25*1/12+9*1/12=17/6`

А вот как быть с плотностью вероятности, не знаю. Прошу помощи.

@темы: Теория вероятностей

---

Турнир городов. Осень. Сложный вариант

[wpoms.]

Турнир городов. Осень. Сложный вариант

8-9 классы

Задача 1.
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3:4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?

Задача 2.
Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за июль, на сколько — за август, и на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на x процентов, курс падал на x процентов, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Задача 4.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.

Задача 5.
Цифры натурального числа $n > 1$ записали в обратном порядке и результат умножили на $n.$ Могло ли получиться число, записываемое только единицами?

Задача 6.
Вписанная окружность касается сторон $AB,$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N,$ $K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC.$

Задача 7.
Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесенном доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры а) $20 \times 20$ клеток; б) $50 \times 90$ клеток?

10-11 классы

Задача 1.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.

Задача 2.
Дан правильный шестиугольник с центром $O.$ Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника такие, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины $\alpha$ с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна $6\alpha.$

Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за октябрь, на сколько — за ноябрь, ..., на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$ процентов, курс падал на $x$ процентов, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Задача 4.
Покажите, что для любой последовательности $a_0,$ $a_1,$ ..., $a_n,$ ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k,$ что
$|a_0 \cdot a1 \cdot ... \cdot a_k + a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{k+1} + ... + a_n \cdot a_{n+1} \cdot ... \cdot a_{n+k}| = 2017.$

Задача 5.
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: 1) вначале режем сыр на 2 куска, затем один из них режем на 2 куска, затем один из трёх кусков опять режем на 2 куска, и т.д.; 2) после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса любой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R.$

а) Докажите, что при $R = 0{,}5$ можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если $R > 0{,}5,$ то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если $R = 0{,}6?$

Задача 6.
Дан треугольник $ABC.$ Пусть $I$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB,$ а $A_1$ и $B_1$ — точки её касания с продолжениями сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $IC,$ а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N.$ Докажите, что точки $N,$ $B_1,$ $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

Задача 7.
Город имеет вид квадрата $n \times n,$ разбитого на кварталы $1 \times 1.$ Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.

@темы: Порешаем?!

---

Вычислить вероятность обрыва цепи

[alligator76]

Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятностями `p_i, 1<=i<=4`. При выходе из строя блока соединение в этом месте нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каждой из схем.

Схема следующая:

Раньше мне никогда не приходилось иметь дело со схемами, где элементы цепи расположены на стыке ветвей. Я умею решать задачи только для параллельного либо последовательного соединения. Эта схема меня буквально поставила в тупик. Очевидно, что цепь перестанет работать, если откажет элемент 1. А дальше не знаю, как приступить к задаче.

Прошу помощи.

@темы: Теория вероятностей

---

Закономерность в числах

[rom7]

Прошу дать подсказку, кто сможет

Если
1*36=36,
8*23=23
8*67=1 , то 9*10=???

думаю, но не могу найти закономерность

@темы: Математическая логика

---

Минимальная сумма цифр

[wpoms.]

Рассмотрим сто чисел - $199,$ $199^2,$ $199^3,$ $199^4,$ ..., $199^{100}.$ Для каждого из них вычисляется сумма цифр. Определите минимальное из 100 вычисленных значений.

@темы: Теория чисел

---

Решить неравенство

[MestnyBomzh]

Наткнулся в своих старых записях на неравенство: `3^(log_x 2) + 4^(log_x 3) <= 40`
Попытался решить - привести логарифм в степени к привычному `ln(x)`, после замена на `y` - дальше пусто. Более содержательных идей не было. Я бы и бросил это задачу, если бы не вольфрам, который выдал в ответе точный ответ (именно точный, выраженный через корни, логарифмы и тд!). Подскажите как такое можно решить?

@темы: Доказательство неравенств

---

На доске

[wpoms.]

В каждую клетку доски $17 \times 17$ нужно вписать одно из натуральных чисел от 1 до $n$ включительно так, чтобы все эти числа были использованы (они могут повторяться). Если в одном ряду есть две клетки $A$ и $B$ с одним и тем же числом $k$ и $A$ расположена левее $B,$ то в одной колонке с клеткой $A$ и выше неё не должно быть клеток с числом $k.$ Определите минимальное значение $n$ и покажите доску с записанными числами, удовлетворяющую этим условиям.

@темы: Комбинаторика

---

Аналитическая геометрия в пространстве

[Lordiq]

Приветствую всех! Никак не могу решить задачу на уравнение плоскости. Условие:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 0, 1) и В(0, -1, 1) и отстоящей от точки С(5, 0, -3) на расстоянии 4.

@темы: Аналитическая геометрия

---

Не все то золото, что блестит

[wpoms.]

Найдите наибольшее число `q,` для которого в плоскости равностороннего треугольника `ABC` существует точка `X` такая, что

`AX: BX: CX = 1: q: q^2.`

% В. Брайман

@темы: Планиметрия

---

[MisteryS]

Из урны, в которой находится 4 шара белого цвета, 3—черного и 6—синего, наудачу извлекается 7 шаров. Вычислить вероятность того, что среди них будет 4 белых шаров, 0 черных и 3 синих, если выбор производится с возвращением.

Я рассуждала так: вероятность извлечь шар любого цвета всегда одинакова:
p1=4/13
p2=3/13
p3=6/13
где p1, p2, p3 - вероятности извлечь белый, черный и синий шары
И тогда искомая вероятность P=P1*P2*P3, где P1, P2, P3 ищутся по формуле Бернулли


Но я не уверена в правильности моего решения....

@темы: Теория вероятностей

---

Оценка экспоненты

[grandmix]

Всем привет ! Такой небольшой вопрос, как обосновать след оценки экспоненты `1+x < exp(x) < 1/(1-x)` на промежутке `-1 < x < 1`

@темы: Высшая алгебра