Турнир городов. Осень. Сложный вариант8-9 классыЗадача 1.
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3:4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?
Задача 2.
Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?
читать дальшеЗадача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за июль, на сколько — за август, и на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на x процентов, курс падал на x процентов, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?
Задача 4.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.
Задача 5.
Цифры натурального числа $n > 1$ записали в обратном порядке и результат умножили на $n.$ Могло ли получиться число, записываемое только единицами?
Задача 6.
Вписанная окружность касается сторон $AB,$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N,$ $K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC.$
Задача 7.
Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесенном доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры а) $20 \times 20$ клеток; б) $50 \times 90$ клеток?
10-11 классы
Задача 1.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.
Задача 2.
Дан правильный шестиугольник с центром $O.$ Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника такие, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины $\alpha$ с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна $6\alpha.$
Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за октябрь, на сколько — за ноябрь, ..., на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$ процентов, курс падал на $x$ процентов, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?
Задача 4.
Покажите, что для любой последовательности $a_0,$ $a_1,$ ..., $a_n,$ ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k,$ что
$|a_0 \cdot a1 \cdot ... \cdot a_k + a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{k+1} + ... + a_n \cdot a_{n+1} \cdot ... \cdot a_{n+k}| = 2017.$
Задача 5.
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: 1) вначале режем сыр на 2 куска, затем один из них режем на 2 куска, затем один из трёх кусков опять режем на 2 куска, и т.д.; 2) после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса любой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R.$
а) Докажите, что при $R = 0{,}5$ можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если $R > 0{,}5,$ то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если $R = 0{,}6?$
Задача 6.
Дан треугольник $ABC.$ Пусть $I$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB,$ а $A_1$ и $B_1$ — точки её касания с продолжениями сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $IC,$ а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N.$ Докажите, что точки $N,$ $B_1,$ $A$ и $M$ лежат на одной окружности.
Задача 7.
Город имеет вид квадрата $n \times n,$ разбитого на кварталы $1 \times 1.$ Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.
-
-
04.11.2017 в 17:05-
-
05.11.2017 в 04:51