Две равномерные случайные величины

[alligator76]

Добрый день!
Задача следующая:

Случайные величины `xi` и `eta` независимы и распределены по равномерным законам `R(0,1)` и `R(1,2)` соответственно. Найдите плотность распределения случайной величины `zeta=5xi+3` и дисперсию `D(5xi+3eta)` .

Мне кажется, что авторы задачи допустили опечатку в том месте, где просят найти плотность распределения случайной величины `zeta=5xi+3`, а не случайной величины `zeta=5xi+3eta`. Ну ладно, будем решать так, как есть.

С дисперсией проблем у меня не возникло. Я нашел дисперсии у обоих равномерных величин по формуле для дисперсии равномерного распределения `DX=(b-a)^2/12` и применил свойство дисперсии:

`D(5xi+3eta)=5^2D(xi)+3^2D(eta)=25*1/12+9*1/12=17/6`

А вот как быть с плотностью вероятности, не знаю. Прошу помощи.

@темы: Теория вероятностей

---

Турнир городов. Осень. Сложный вариант

[wpoms.]

Турнир городов. Осень. Сложный вариант

8-9 классы

Задача 1.
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3:4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?

Задача 2.
Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за июль, на сколько — за август, и на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на x процентов, курс падал на x процентов, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Задача 4.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.

Задача 5.
Цифры натурального числа $n > 1$ записали в обратном порядке и результат умножили на $n.$ Могло ли получиться число, записываемое только единицами?

Задача 6.
Вписанная окружность касается сторон $AB,$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N,$ $K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC.$

Задача 7.
Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесенном доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры а) $20 \times 20$ клеток; б) $50 \times 90$ клеток?

10-11 классы

Задача 1.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.

Задача 2.
Дан правильный шестиугольник с центром $O.$ Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника такие, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины $\alpha$ с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна $6\alpha.$

Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за октябрь, на сколько — за ноябрь, ..., на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$ процентов, курс падал на $x$ процентов, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Задача 4.
Покажите, что для любой последовательности $a_0,$ $a_1,$ ..., $a_n,$ ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k,$ что
$|a_0 \cdot a1 \cdot ... \cdot a_k + a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{k+1} + ... + a_n \cdot a_{n+1} \cdot ... \cdot a_{n+k}| = 2017.$

Задача 5.
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: 1) вначале режем сыр на 2 куска, затем один из них режем на 2 куска, затем один из трёх кусков опять режем на 2 куска, и т.д.; 2) после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса любой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R.$

а) Докажите, что при $R = 0{,}5$ можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если $R > 0{,}5,$ то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если $R = 0{,}6?$

Задача 6.
Дан треугольник $ABC.$ Пусть $I$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB,$ а $A_1$ и $B_1$ — точки её касания с продолжениями сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $IC,$ а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N.$ Докажите, что точки $N,$ $B_1,$ $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

Задача 7.
Город имеет вид квадрата $n \times n,$ разбитого на кварталы $1 \times 1.$ Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.

@темы: Порешаем?!

---

Вычислить вероятность обрыва цепи

[alligator76]

Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятностями `p_i, 1<=i<=4`. При выходе из строя блока соединение в этом месте нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каждой из схем.

Схема следующая:

Раньше мне никогда не приходилось иметь дело со схемами, где элементы цепи расположены на стыке ветвей. Я умею решать задачи только для параллельного либо последовательного соединения. Эта схема меня буквально поставила в тупик. Очевидно, что цепь перестанет работать, если откажет элемент 1. А дальше не знаю, как приступить к задаче.

Прошу помощи.

@темы: Теория вероятностей

---

Закономерность в числах

[rom7]

Прошу дать подсказку, кто сможет

Если
1*36=36,
8*23=23
8*67=1 , то 9*10=???

думаю, но не могу найти закономерность

@темы: Математическая логика

---

Минимальная сумма цифр

[wpoms.]

Рассмотрим сто чисел - $199,$ $199^2,$ $199^3,$ $199^4,$ ..., $199^{100}.$ Для каждого из них вычисляется сумма цифр. Определите минимальное из 100 вычисленных значений.

@темы: Теория чисел

---

Решить неравенство

[MestnyBomzh]

Наткнулся в своих старых записях на неравенство: `3^(log_x 2) + 4^(log_x 3) <= 40`
Попытался решить - привести логарифм в степени к привычному `ln(x)`, после замена на `y` - дальше пусто. Более содержательных идей не было. Я бы и бросил это задачу, если бы не вольфрам, который выдал в ответе точный ответ (именно точный, выраженный через корни, логарифмы и тд!). Подскажите как такое можно решить?

@темы: Доказательство неравенств

---

На доске

[wpoms.]

В каждую клетку доски $17 \times 17$ нужно вписать одно из натуральных чисел от 1 до $n$ включительно так, чтобы все эти числа были использованы (они могут повторяться). Если в одном ряду есть две клетки $A$ и $B$ с одним и тем же числом $k$ и $A$ расположена левее $B,$ то в одной колонке с клеткой $A$ и выше неё не должно быть клеток с числом $k.$ Определите минимальное значение $n$ и покажите доску с записанными числами, удовлетворяющую этим условиям.

@темы: Комбинаторика

---

Аналитическая геометрия в пространстве

[Lordiq]

Приветствую всех! Никак не могу решить задачу на уравнение плоскости. Условие:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 0, 1) и В(0, -1, 1) и отстоящей от точки С(5, 0, -3) на расстоянии 4.

@темы: Аналитическая геометрия

---

Не все то золото, что блестит

[wpoms.]

Найдите наибольшее число `q,` для которого в плоскости равностороннего треугольника `ABC` существует точка `X` такая, что

`AX: BX: CX = 1: q: q^2.`

% В. Брайман

@темы: Планиметрия

---

[MisteryS]

Из урны, в которой находится 4 шара белого цвета, 3—черного и 6—синего, наудачу извлекается 7 шаров. Вычислить вероятность того, что среди них будет 4 белых шаров, 0 черных и 3 синих, если выбор производится с возвращением.

Я рассуждала так: вероятность извлечь шар любого цвета всегда одинакова:
p1=4/13
p2=3/13
p3=6/13
где p1, p2, p3 - вероятности извлечь белый, черный и синий шары
И тогда искомая вероятность P=P1*P2*P3, где P1, P2, P3 ищутся по формуле Бернулли


Но я не уверена в правильности моего решения....

@темы: Теория вероятностей

---

Оценка экспоненты

[grandmix]

Всем привет ! Такой небольшой вопрос, как обосновать след оценки экспоненты `1+x < exp(x) < 1/(1-x)` на промежутке `-1 < x < 1`

@темы: Высшая алгебра

---

Система уравнений с делением с остатком

[бенгальская]

Система уравнений была получена в процессе дешифровки текста, зашифрованного методом гаммирования, таких же уравнений (с неизвестными С, А, М) я еще хоть штук 10 получить могу, а как вычислить неизвестные догадаться не могу

(A*91+C)modM=0
CmodM=1
(A+C)modM=20

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства

---

[rom7]

Уважаемое сообщество.
Хочу уточнить, есть ли спец формула уравнения касательной к неявно заданной функции?
Обычно я непосредственно нахожу производные и выражаю в них y', но вот вижу, что по данной ссылке каким-то образом сразу подставили в формулу и получили уравнение касательной (в разделе answers)

math.stackexchange.com/questions/1287825/sqrty-...


The tangent at the point (x0,y0) of the curve f(x,y)=0 has equation
(x−x0)∂f∂x(x0,y0)+(y−y0)∂f∂x=0

@темы: Производная

---

Про треугольник

[wpoms.]

Пусть $ABC$ --- прямоугольный треугольник и $C = 90^\circ.$ Точки $D$ и $E$ выбраны на гипотенузе AB так, что $AD = AC$ и $BE = BC.$ Точки $P$ и $Q$ лежат на $AC$ и $BC$ соответственно, при этом, $AP = AE$ и $BQ = BD.$ Пусть $M$ --- середина отрезка $PQ.$ Покажите, что $M$ --- точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ и найдите величину угла $AMB.$

@темы: Планиметрия

---

Матрица последовательных чисел

[Груша Вильямс]

Требуется определить общую формулу для чисел в ячейках матрицы `n times n` через соответствующие координаты ячеек `i` и `j`, где `i,j={0,1,2,...,n-1}`, при условии что числа последовательные и начинаются с 1.
Пример, матрица 3x3
123
456
789

@темы: Функции

---

Олимпиада стран Залива

[wpoms.]

Олимпиада стран Залива

Олимпиада стран Залива (Gulf Mathematical Olympiad) проводится с 1433 года. В ней принимают участие сборные команды Бахрейна, Кувейта, Омана, Катара, Саудовской Аравии и Объединённых Арабских Эмиратов. Задачи для олимпиады составляют гастарбайтеры из Европы под руководством Д. Смита (Англия).

@темы: Олимпиадные задачи

---

Турнир городов. Осень. Базовый вариант

[wpoms.]

Турнир городов. Осень. Базовый вариант

8-9 классы

Задача 1
Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять сумм отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько – отрицательны?

Задача 2
Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье – на 98, … , последнее делится на 2?


Задача 3
B ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?

Задача 4
На одной из клеток поля 8 × 8 зарыт клад. Вы находитесь с металлоискателем в центре одной из угловых клеток этого поля и передвигаетесь, переходя в центры соседних по стороне клеток. Металлоискатель срабатывает, если вы оказались на той клетке, где зарыт клад, или в одной из соседних с ней по стороне клеток. Можно ли гарантированно указать клетку, где зарыт клад, пройдя расстояние не более 26?

Задача 5
Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клетки равна 1). Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более 1/3 от её длины.

10-11 классы

Задача 1.
Существуют ли нецелые числа $x$ и $y,$ для которых $\{x\}\cdot\{y\} = \{x+y\}?$ (Здесь $\{x\}$ --- дробная часть числа $x.$)

Задача 2.
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL.$ Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Задача 3.
Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина --- отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Задача 4.
а) Может ли некоторый шар высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3, 4?
б) Тот же вопрос, если радиус шара должен быть равен 5.

Задача 5.
В левой нижней клетке доски $100 \times 100$ стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход --- горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B,$ что фишка не менее двух раз делала ход из $A$ в $B.$

@темы: Порешаем?!

---

Винни-Пух сел на диету

[wpoms.]

5525. Собралось несколько друзей, некоторые из которых всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Докажите, что вместе они могут проскандировать одну фразу, по которой посторонний сможет определить число лгущих. %М.А. Дидин (Москва) 5526. Винни-Пух сел на диету и каждый день ест на две банки варенья меньше и на одну банку мёда больше, чем вчера. Всего за время диеты он съел 484 банки варенья и 275 банок мёда. Сколько дней длилась диета? %Е.В. Бакаев (Москва) 5527. Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle{B} = 120^\circ.$ Точки $K \in [AB]$ и $L \in [BC]$ взяты так, что $AK = CL$ и $\angle{KML} = 120^\circ,$ где $M$ --- середина стороны $AC.$ Докажите равенство $KL = \frac{1}{2}AC.$ %Е.В. Бакаев (Москва) 5528. Последовательность натуральных чисел $(a_n)$ строится с помощью рекуррентного отношения $a_{n+1} = a_n + d_n,$ где $d_n$ --- наибольший общий делитель чисел $a_n$ и $n.$ Верно ли, что при любом значении $a_1$ последовательность $(d_n)$ не содержит ни одного составного числа? %Ю.А. Игнатов (Тула) 5529. Плоскую фигуру можно разрезать на $n$ «доминошек» $1\times2.$ Из неё вырезали кусок, равный такой доминошке, и от неё осталась связная фигура, которую уже нельзя разрезать на такие доминошки. При каком наименьшем значении $n$ это возможно? %Ю.А. Игнатов (Тула) 5530. Докажите, что неравенство $\sum_{k=1}^{\infty} \left[\frac{t}{2^{k+1}} + \frac{1}{2}\right] \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \left[\frac{t}{2^{k+1}}\right]$ справедливо для любого $t > 0.$ ($[a]$ --- целая часть числа $a.$) %Е.И. Знак (С.-Петербург) Математика в школе №7, 2017

@темы: Порешаем?!

---

[sick_alien]

Здравствуйте уважаемое сообщество.

Делаю курсовую работу по численным методам, третий курс Каунасского Технологического Университета.

Задача – вычисление элементарных функций, ещё точнее – у меня в задании – экспоненциальная функция

`f(x)=e^(x)`

Что я сделал и с чем разобрался:

1) сделал реализацию вычисления разложением в рад Маклорена

`e^(x) = 1 + 1/(1!) x + 1/(2!) x^(2) + 1/(3!) x^(3) + ….+1/(m!) x^(m)`

`p(x) = a_0 +a_1 x + a_2 x^(2)+ a_3 x^(3) + …..+ a_n x^(n)`

и рассчитываю значение функции используя рекуррентную формулу

`F(x) = a_k + a_(k-1) x/k`

2) сделал реализаицию вычисления степенного ряда по схеме Горнера

`p(x) = a_0 + x (a_1 + x (a_2 + …. + x (a_(n-1) + a_n x )))`

(тот же степенной ряд, но коэффициенты рассчитываются заранее, число членов задано)

`b_n := a_n`
`b_(n-1) := a_(n-1) + b_n x_0`
`……...`
`b_0 := a_0 + b_1 x_0`
`p(x_0) = b_0`

3) реализовал редукцию аргумента, для вычисления в интервале

`e^x = a e^(x- ln a)`

Что нужно сделать:

реализовать вычисление экспоненты полиномами Чебышева.

Мне понятно всё. Нашёл литературу:

[1] Благовещенский Ю.В. - Вычисление элементарных функций на ЭВМ, Киев, 1977
[2] К. Ланцош – Практические методы прикладного анализа, 1956

в [1] просто дана формула, для вычисления, тупо переписанная из [2], без каких либо объяснений. Я нашёл книгу Ланцоша, и попытался разобраться. На стр. 467-468 дан пример приложения расчёта экспоненциальной функции смещёнными полиномами Чебышева и ‘tau’ - методом.


Вот эта формула:

`y_n (x) = tau sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`

, где

`S_m(x) = 1 + x + x^2 / 2! + …. + x^m / m!`

и тогда мы получаем

`y_n = (sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)) / ( sum_(m=0)^(n) c_n^m m!)`

Решение оказывается взвешенным арифметическим средних частных сумм Тейлора, где весовой функцией являются полиномы Чебышева.

Там же, в [2] выписаны 5 первых сумм, которые соответствуют формуле выше.

`y_0 = 1`

`y_1 = (1 + 2x) / 1`

`y_2 = (9 + 8 x + 8 x^2) /9`

`y_3 = (113 + 114 x + 48 x^2 + 32 x^3) / 113`

`y_4 = (1825 + 1824 x + 928 x^2 + 256 x^3 + 128 x^4) / 1825`

теперь собственно вопрос:

я разобрался, что за сумма в знаменателе. И как она вычисляется. Коэффииенты смещённого полинома чебышева я также рассчитал и реализовал программно.

Вопрос заключается в том, как рассчитывать выражение (я не понимаю):

`sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`

?????? (например последние два члена для ‘y_4’ совпадают с коэффииентами смещённого ряда Чебышева, а другие как то рассчитываются)

для большей понятности распишу коэффииенты смещённого ряда Чебышева (в порядке убывания степени)

`n = 0 : 1`
`n = 1 : 2,-1`
`n = 2 : 8, -8, 1`
`n = 3 : 32, - 48, 18, -1`
`n = 4 : 128, - 256, 160, -32, 1`
`n = 5: 512, -1280, 1120, - 400, 50, -1`

например `1825` можно получить ` = 128*4! + (- 256)*3! + 160*2! + (-32)*1 + 1*1`

Please help, deadline is coming

@темы: Теория многочленов, Численные методы

---

Про коробки

[wpoms.]

Имеются 100 бесконечно вместительных коробок, в каждой из которых лежит по одной фишке. Бруно может добавить в каждую коробку так много фишек, сколько пожелает. После этого начинает выполняться последовательность шагов. На шаге 1 в каждую коробку добавляется по одной фишке. На шаге 2 фишка добавляется в те коробки, в которых содержится чётное количество фишек. На шаге 3 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 3. На шаге 4 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 4. И так далее. Целью Бруно было добиться того, чтобы на каждом шаге можно было найти две коробки с разным количеством фишек. Определите, может ли Бруно достичь своей цели при каком-либо добавлении фишек до начала выполнения описанной последовательности шагов.

@темы: Дискретная математика