Найти точку пересечения касательной к графику функции y=4x^3-6x+1 в точке М(1;-1) с осью y.
Всем привет!!! Задачи по ФАНу
Задачник Треногин, Писаревский, Соболева
Задачи 1.22 пункт к), 1.23 пункт г), 6.2
В задача 6.2 надо проверить аксиомы метрики, правильно ли я сделал первый и вторую аксиомы? Как доказать третью аксиому не могу понять))
6.2. Пусть r(x,y) - метрика на множестве Х. Доказать что функция r_1(x,y)=r(x,y)/(1+r(x,y)) также являются метрикой, здесь у меня r это буква ро
В 1.22 и 1.23 надо проверить аксиомы нормы,правильно ли я доказываю? и такой вопрос " что означает сходимость последовательности в случае моего пространства?"
1.22. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт к) Пространство с сходящихся последовательностей х=(х_1,х_2,...) (х_к принадлежит R или х_к принадлежит С) с нормой ||х||=sup|x_k|
1.23. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт г) Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитных функций(равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой ||х||=max|x(t)|
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!))
Задачник Треногин, Писаревский, Соболева
Задачи 1.22 пункт к), 1.23 пункт г), 6.2
В задача 6.2 надо проверить аксиомы метрики, правильно ли я сделал первый и вторую аксиомы? Как доказать третью аксиому не могу понять))
6.2. Пусть r(x,y) - метрика на множестве Х. Доказать что функция r_1(x,y)=r(x,y)/(1+r(x,y)) также являются метрикой, здесь у меня r это буква ро
В 1.22 и 1.23 надо проверить аксиомы нормы,правильно ли я доказываю? и такой вопрос " что означает сходимость последовательности в случае моего пространства?"
1.22. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт к) Пространство с сходящихся последовательностей х=(х_1,х_2,...) (х_к принадлежит R или х_к принадлежит С) с нормой ||х||=sup|x_k|
1.23. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт г) Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитных функций(равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой ||х||=max|x(t)|
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!))
четверг, 26 января 2017
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Положительные целые числа `p`, `a` и `b` удовлетворяют уравнению `p^2 + a^2 = b^2`. Докажите, что если `p` является простым и `p > 3`, то `a` кратно` 12` и `2*(p + a + 1)` является полным квадратом. |  |
вторник, 24 января 2017
3. Записать координаты вектора
a
коллинеарного вектору
с= i- k
, если он длиннее в 9+1 раз вектора
с
и одного с ним направления в случае, когда 1 – четное или короче его во столько же
раз и противоположного с ним направления, когда 1 – нечетное.
Найти направляющие косинусы вектора
a
.
a
коллинеарного вектору
с= i- k
, если он длиннее в 9+1 раз вектора
с
и одного с ним направления в случае, когда 1 – четное или короче его во столько же
раз и противоположного с ним направления, когда 1 – нечетное.
Найти направляющие косинусы вектора
a
.
. Даны координаты вершин треугольника АВС.
А В С
A(9–(15+2*1);B (1.-1*6)
c (–1; 9 – 4)
Требуется найти:
1) длины и уравнения сторон треугольника;
2) выписать координаты направляющих и нормальных векторов
сторон треугольника и их угловые коэффициенты;
3) угол A при G ={0, 3, 6}, угол B при G = {1, 4, 7}, угол С при G = {2, 5, 8, 9};
4) уравнение медианы CЕ при G = {0, 3, 6}, AЕ при G = {1, 4, 7}, BЕ
при G={2, 5, 8, 9};
5) уравнение и длину высоты BD при G = {0, 3, 6}, СD при G = {1, 4,
7}, АD при G={2, 5, 8, 9};
6) точку пересечения найденной высоты и медианы;
7) сделать построения.
А В С
A(9–(15+2*1);B (1.-1*6)
c (–1; 9 – 4)
Требуется найти:
1) длины и уравнения сторон треугольника;
2) выписать координаты направляющих и нормальных векторов
сторон треугольника и их угловые коэффициенты;
3) угол A при G ={0, 3, 6}, угол B при G = {1, 4, 7}, угол С при G = {2, 5, 8, 9};
4) уравнение медианы CЕ при G = {0, 3, 6}, AЕ при G = {1, 4, 7}, BЕ
при G={2, 5, 8, 9};
5) уравнение и длину высоты BD при G = {0, 3, 6}, СD при G = {1, 4,
7}, АD при G={2, 5, 8, 9};
6) точку пересечения найденной высоты и медианы;
7) сделать построения.
понедельник, 23 января 2017
Найти координаты вершин треугольника,если даны координаты одной из его вершины А(1;2) и уравнения его медиан: 20х-7у-22=0 , 4х+у-22=0.....ПРОШУ
воскресенье, 22 января 2017
Доказать, что для `x, y, a in (0,1)` при `x != y` выполнено неравенство:
`1/(| x^a - y^a |) < 1/(a * | x - y |)`
Доказательство:
перепишем неравенство в виде: `| x^a - y^a | > a*| x - y |`
так как `x^a = int_0^x a*t^(a-1) dt` и `y^a = int_0^y a*t^(a-1) dt`, то `| x^a - y^a | = a*| int_0^y t^(a-1) dt - int_0^y t^(a-1) dt | = a*| int_x^y t^(a-1) dt | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) |` - в силу теоремы о среднем значении интеграла. Но `t_0^(a-1) > 1 => | x^a - y^a | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) | > a*| x - y |` ч.т.д
Всё ли верно?
`1/(| x^a - y^a |) < 1/(a * | x - y |)`
Доказательство:
перепишем неравенство в виде: `| x^a - y^a | > a*| x - y |`
так как `x^a = int_0^x a*t^(a-1) dt` и `y^a = int_0^y a*t^(a-1) dt`, то `| x^a - y^a | = a*| int_0^y t^(a-1) dt - int_0^y t^(a-1) dt | = a*| int_x^y t^(a-1) dt | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) |` - в силу теоремы о среднем значении интеграла. Но `t_0^(a-1) > 1 => | x^a - y^a | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) | > a*| x - y |` ч.т.д
Всё ли верно?
суббота, 21 января 2017
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Расположите следующие числа в порядке возрастания и обоснуйте ваши рассуждения: `3^{3^4}, \ 3^{4^3}, \ 3^{4^4}, \ 4^{3^3}` и `4^{3^4}`. Отметим, что `a^{b^c}` означает `a^{(b^c)}`. | |
суббота, 14 января 2017
Суть задачи в следующем - есть полоса длиной в 5 клеток (в общем случае `N` клеток), нумерация клеток идет последовательно с нуля (0,1,2,3,4), на последней клетке (4) стоит шашка, которая начинает прыгать по краям, на прошлые места она не возвращается, то есть она прыгает 4 - 0 - 3 - 1 - 2. Мне надо составить функцию такого передвижения, то есть такую функцию `f(x)`, что `f(4) = 0`, `f(0) = 3`, `f(3) = 1`. Как это можно сделать? Сижу где-то час мыслей вообще нет. Скажем для трёх, начиная с нуля `(x+1)^2` будет.
p.s. Собственно придумалось такое из программирования вместо for(i = 0; i < N; i++) записать что-то поинтереснее захотелось for(i = N, j = 0; j < N; хитрое выражение с i, j++)
p.s. Собственно придумалось такое из программирования вместо for(i = 0; i < N; i++) записать что-то поинтереснее захотелось for(i = N, j = 0; j < N; хитрое выражение с i, j++)
Исследовать на сходимость ряд `sum_{n=1}^infty (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n`.
Так как `sqrt((n+1)/n) > (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n` и ряд `sum_{n=1}^infty sqrt((n+1)/n)`сходится по необходимому признаку, то и исходный ряд сходится в силу признака сравнения.
Правильно? И можно ли как-нибудь покороче?
Так как `sqrt((n+1)/n) > (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n` и ряд `sum_{n=1}^infty sqrt((n+1)/n)`сходится по необходимому признаку, то и исходный ряд сходится в силу признака сравнения.
Правильно? И можно ли как-нибудь покороче?
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Число `1000` может быть записано как сумма `16` последовательных натуральных чисел: `1000 = 55 + 56 + ... + 70`. Найдите все натуральные числа, которые не могут быть записаны как сумма двух или более последовательных натуральных чисел. |  |
пятница, 13 января 2017
Когда женщина перестает быть юной и прелестной, она становится мудрой и роскошной
Добрый вечер! Помогите решить задачу)
Определите значение параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень
x^4 + (a^2+a+1) x^2 -a^3 - 2a=0
делаю замену на t^2, нахожу дискриминант:
D=(a^2+a+1)^2 + 4a*(a^2+2)
один корень, значит дискриминант равен нулю, получаю
(a^2+a+1)^2 + 4a*(a^2+2)=0
И что делать дальше не ясно =(
по логике поделила уравнение на a^2+1, но получается что-то несусветное:
(1+а/(a^2+1))^2 + 4/(a^2+1) (1+1/(a^2+1))
замену сделать не могу, т.к. слева есть "а", а справа - нету...
Если просто раскрыть скобки и не мучиться, получаем a^4+6a^3+3a^2+10a+1=0
Это тоже решить не получается...
Причем в ответе написано a=0.
Определите значение параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень
x^4 + (a^2+a+1) x^2 -a^3 - 2a=0
делаю замену на t^2, нахожу дискриминант:
D=(a^2+a+1)^2 + 4a*(a^2+2)
один корень, значит дискриминант равен нулю, получаю
(a^2+a+1)^2 + 4a*(a^2+2)=0
И что делать дальше не ясно =(
по логике поделила уравнение на a^2+1, но получается что-то несусветное:
(1+а/(a^2+1))^2 + 4/(a^2+1) (1+1/(a^2+1))
замену сделать не могу, т.к. слева есть "а", а справа - нету...
Если просто раскрыть скобки и не мучиться, получаем a^4+6a^3+3a^2+10a+1=0
Это тоже решить не получается...
Причем в ответе написано a=0.
среда, 11 января 2017
При каких ограничениях на `p` и `q` уравнение `x^(2 * n + 1) + p * x + q` имеет ровно три различных вещественных корня
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q` должна иметь два различных вещественных корня, т.е. ` (2* n + 1) * x^(2*n) + p = 0` откуда `p < 0` и корни производной `x_1 = -(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))` , `x_2 = +(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))`.
т.к `lim_(x->infty) P(x) = -infty` , то `P(x_1) > 0` , а `P(x_2) < 0` откуда получаем `q > p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) ` , `q < -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1)`
Окончательно `p < 0 ` и `q in (p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) , -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1))`
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q` должна иметь два различных вещественных корня, т.е. ` (2* n + 1) * x^(2*n) + p = 0` откуда `p < 0` и корни производной `x_1 = -(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))` , `x_2 = +(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))`.
т.к `lim_(x->infty) P(x) = -infty` , то `P(x_1) > 0` , а `P(x_2) < 0` откуда получаем `q > p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) ` , `q < -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1)`
Окончательно `p < 0 ` и `q in (p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) , -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1))`
вторник, 10 января 2017
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По просьбам Гостя создаю топик для обсуждения решений муниципального этапа Нижегорожской областной олимпиады 2016-2017 года.
Условия можно посмотреть в топике олимпиады...
Присоединяйтесь все желающие...
Условия можно посмотреть в топике олимпиады...
Присоединяйтесь все желающие...
понедельник, 09 января 2017
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан треугольник `ABC`, точка `D` - проекция точки `B` на биссектрису угла `ACB`, а точка `E` - проекция точки `C` на биссектрису угла `ABC`. Докажите, что `DE` пересекает стороны `AB` и `AC` в точках касания этих сторон с вписанной в треугольник `ABC` окружностью. | |
пятница, 06 января 2017
1) Пусть `a_n` - ограниченная последовательность натуральных чисел ,`lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = 1` . Найти `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n`
Для начала докажем, что `lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) a_n`. Для этого рассмотрим предел `lim_(n -> infty) ln(a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) (ln(a_1)+...+ln(a_n))/n`, по теореме Штольца он равен `lim_(n -> infty) ln(a_n)`. Применив теорему Штольца к пределу `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n` получим, что он равен `lim_(n -> infty) a_n`, следовательно искомый предел равен 1.
2) Если `lim_(x -> infty) f(x) + f'(x) = a` , то `lim_(x -> infty) f(x) = a`, а `lim_(x -> infty) f'(x) = 0`. Доказать
Применив правило Лопиталя к пределу `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x` получим : `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x = lim_(x -> infty) (e^x * (f(x)+ f'(x))) / e^x = a`
Следовательно `lim_(x -> infty) f'(x) = 0` и `lim_(x -> infty) f(x) = a`
Для начала докажем, что `lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) a_n`. Для этого рассмотрим предел `lim_(n -> infty) ln(a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) (ln(a_1)+...+ln(a_n))/n`, по теореме Штольца он равен `lim_(n -> infty) ln(a_n)`. Применив теорему Штольца к пределу `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n` получим, что он равен `lim_(n -> infty) a_n`, следовательно искомый предел равен 1.
2) Если `lim_(x -> infty) f(x) + f'(x) = a` , то `lim_(x -> infty) f(x) = a`, а `lim_(x -> infty) f'(x) = 0`. Доказать
Применив правило Лопиталя к пределу `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x` получим : `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x = lim_(x -> infty) (e^x * (f(x)+ f'(x))) / e^x = a`
Следовательно `lim_(x -> infty) f'(x) = 0` и `lim_(x -> infty) f(x) = a`
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что `SL_2(ZZ) = <((0,-1),(1,0)), ((1,1),(0,1))>`.
Не до конца понимаю "на пальцах", что значит группа, порожденная множеством.
Если `a = ((0,-1),(1,0))`, то `a^2 = ((-1,0),(0,-1)), a^3 = ((1,0),(0,1))`
`b=((1,1),(0,1)), b^n = ((1,n),(0,1))`.
Т.е. надо доказать, что любая матрица из `SL_2(ZZ)` представима в виде `\alpha a^k * \beta b^m`?
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что `SL_2(ZZ) = <((0,-1),(1,0)), ((1,1),(0,1))>`.
Не до конца понимаю "на пальцах", что значит группа, порожденная множеством.
Если `a = ((0,-1),(1,0))`, то `a^2 = ((-1,0),(0,-1)), a^3 = ((1,0),(0,1))`
`b=((1,1),(0,1)), b^n = ((1,n),(0,1))`.
Т.е. надо доказать, что любая матрица из `SL_2(ZZ)` представима в виде `\alpha a^k * \beta b^m`?
четверг, 05 января 2017
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
В классе, в котором учатся `14` мальчиков, провели опрос. Каждого из мальчиков попросили ответить на два вопроса: у скольких одноклассников такое же имя и у скольких одноклассников такая же фамилия. В ответ были получены числа `0, 1, 2, 3, 4, 5` и `6`. Докажите, что в классе есть два мальчика с совпадающими именем и фамилией. | |
вторник, 27 декабря 2016
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Имеются n выключенных лампочек, пронумерованных числами от `1` до `n`. С ними можно выполнять одну из следующих операций: • изменить состояние лампочки `1`; • изменить состояние лампочки `2`, если первая лампочка горит; • изменить состояние лампочки с номером `k` (`k > 2`), если лампочка с номером `k-1` горит и все лампочки с номерами `1, ... , k-2` выключены. Покажите, что возможно, после определенного количества операций, добиться того, чтобы горела только лампочка с номером `n`. | |
понедельник, 26 декабря 2016
Ислледовать на непрерывность при x>=-1
`\sum_{n=2}^{\propto }(((-1)^n)*((n)^(n-1))/(n+x)^n)`
Для исследования равномерной непрерывности использую признак Абеля
не могу понять, чем ограничена b_n
Я нашла предел....то есть теперь нужно найти, чем ограничено `1/e^x`
и вот не пойму....чем же.....
или есть какой-то другой способ определить ограниченность?....без использования экспоненты....
`\sum_{n=2}^{\propto }(((-1)^n)*((n)^(n-1))/(n+x)^n)`
Для исследования равномерной непрерывности использую признак Абеля
не могу понять, чем ограничена b_n
Я нашла предел....то есть теперь нужно найти, чем ограничено `1/e^x`
и вот не пойму....чем же.....
или есть какой-то другой способ определить ограниченность?....без использования экспоненты....
