Функциональный анализ

[...Полярная Звезда...]

Всем привет!!! Задачи по ФАНу
Задачник Треногин, Писаревский, Соболева
Задачи 1.22 пункт к), 1.23 пункт г), 6.2

В задача 6.2 надо проверить аксиомы метрики, правильно ли я сделал первый и вторую аксиомы? Как доказать третью аксиому не могу понять))

6.2. Пусть r(x,y) - метрика на множестве Х. Доказать что функция r_1(x,y)=r(x,y)/(1+r(x,y)) также являются метрикой, здесь у меня r это буква ро

В 1.22 и 1.23 надо проверить аксиомы нормы,правильно ли я доказываю? и такой вопрос " что означает сходимость последовательности в случае моего пространства?"

1.22. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт к) Пространство с сходящихся последовательностей х=(х_1,х_2,...) (х_к принадлежит R или х_к принадлежит С) с нормой ||х||=sup|x_k|

1.23. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт г) Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитных функций(равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой ||х||=max|x(t)|

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!))

@темы: Функциональный анализ

Comments

[All_ex]

...Полярная Звезда..., Задачник Треногин, Писаревский, Соболева
у меня нет этого задачника... можно условие заданий написать целиком...

[...Полярная Звезда...]

All_ex,
6.2.Пусть r(x,y) - метрика на множестве Х. Доказать что функция r_1(x,y)=r(x,y)/(1+r(x,y)), здесь у меня r это буква ро
Вот условия задач 1.22 и 1.23


спасибо)

[All_ex]

...Полярная Звезда..., согласно правилам сообщества, условия заданий нужно набирать текстом... исправьте, пока Вам доступно редактирование топика...
Спасибо за понимание...

[...Полярная Звезда...]

All_ex, извините даже не знал))
6.2.Пусть r(x,y) - метрика на множестве Х. Доказать что функция r_1(x,y)=r(x,y)/(1+r(x,y)) также являются метрикой, здесь у меня r это буква ро
1.22. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт к) Пространство с сходящихся последовательностей х=(х_1,х_2,...) (х_к принадлежит R или х_к принадлежит С) с нормой
||х||=sup|x_k|
1.23.Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректоно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт г) Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитных функций(равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой
||х||=max|x(t)|
В задачах 1.22, 1.23. Я попытался проверить аксиомы нормы, есть ли там ошибки? И я не понимаю вторую часть задания про сходимость, покажите пример пожалуйста))
В задаче 6.2 тоже насчет аксиом первые две вроде получились если правилньо, а вот насчёт третьей не знаю даже как сделать
Спасибо)

[All_ex]

...Полярная Звезда..., извините даже не знал)) - странно... ... вроде давно пишите топики...

Для начала про опечатку...
В задании 6.2, где проверяется первая аксиома в условии `\rho_1(x;y) = 0 \ <=> \ x=y` стоит двойная стрелка следствия...

При проверки неравенства треугольника видимо надо просто использовать свойства функции, которая задаёт новую метрику... `f(z) = z/(1 + z), \ z >= 0`... тогда Ваше неравенство примет вид `f(A) <= f(B) + f(C)`, где `A <= B + C`...
Не уменьшая общности можно считать, что `B < C`...
Понятно, что функция возрастает для случая `A < C` неравенство очевидно верно...
При `A > C`, например, разложим её по Тейлору...
`f(C) = f(A) + f'(xi)*(C - A)` и `f(B) = f(0) + f'(eta)*B`, где `xi in (C; A), \ eta in (0; B)` ... складываем равенства ... `f(B) + f(C) = f(A) + [ f'(xi)*(C - A) + f'(eta)*B ]` и показываем, что сумма в квадратных скобках положительна...

[All_ex]

В 1.23 забыли модуль у лямбды, когда проверяли однородность...
В остальном вроде нормально...

И я не понимаю вторую часть задания про сходимость, покажите пример пожалуйста))
Ну, напишите определение сходящейся последовательности элементов из этих пространств... там модуль разности будет меньше епсилон... откуда делаете вывод, что в обоих случаях будет покоординтаная сходимость...

[...Полярная Звезда...]

All_ex, большое спасибо! все сдал, все правильно)
можно в этом же вопросе, задать следующий?))

[...Полярная Звезда...]

All_ex, Доказать, что для произвольного множества А принадлежит Х, множество А' (множество всех придельных точек, как я понимаю) замкнуто

[All_ex]

...Полярная Звезда..., большое спасибо! все сдал, все правильно)
welcome...

можно в этом же вопросе, задать следующий?))
Новый вопрос - новый топик... чтобы посетители по телу топика видели вопросы, которые в нём обсуждаются...

[All_ex]

множество всех придельных точек - а разве оно не является замыканием исходного множества?...

[...Полярная Звезда...]

All_ex, спасибо, вроде что-то записал, неплохо написал контрольную, спасибо))

[All_ex]

welcome ...