Докажите, что (a) `(2*n)/(3*n + 1) <= sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k`, (b) `sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k <= (3*n + 1)/(4*(n + 1))`, для всех натуральных чисел `n`. |  |
Докажите, что если нечетное простое число `p` можно представить в виде `x^5 - y^5`, где `x`, `y` целые числа, то `sqrt((4*p + 1)/5) = (v^2 + 1)/2`, для некоторого нечетного числа `v`. | |
His wife would bemoan the fact that weekends had to be spent on research, because Bill feared that mathematical inspiration would dry up before he was 40 (at least, that's what he told her). Его жена сокрушалась, что все выходные он посвящал исследованиям, потому что Билл боялся, что математическое вдохновение иссякнет к сорока годам (по крайней мере, так он ей говорил) Норман Биггс об Уильяме Татте |
Дан треугольник `ABC`. Длины сторон `BC`, `CA`, `AB` равны `a`, `b`, `c`, соответственно. Точки `D`, `E` являются серединами сторон `AC`, `AB`, соответственно. Докажите, что `BD` перпендикулярен `CE` тогда и только тогда, когда `b^2 + c^2 = 5*a^2`. | |
Решите уравнение `2^n = a! + b! + c!` в натуральных числах `a`, `b`, `c` и `n`. | |
Кто и шутя и скоро пожелаетъ Пи число узнать — ужъ знаетъ. |
