Простое число, оно такое простое

[wpoms.]

Докажите, что если нечетное простое число `p` можно представить в виде `x^5 - y^5`, где `x`, `y` целые числа, то `sqrt((4*p + 1)/5) = (v^2 + 1)/2`, для некоторого нечетного числа `v`.

@темы: Теория чисел

Comments

[kostyaknop]

Во-первых, x^5-y^5 делится на x-y, откуда x-y=1. Тогда после раскрытия скобок получаем p=(y+1)^5-y^5 =5y^4+1-y^3+10y^2+5y+1.
Отсюда sqrt((4p+1)/5)=2y^2+2y+1 = 1/2 * (4y^2+4y+2), что очевидно совпадает с (v^2+1)/2 для v=2y+1.

[Гость]

откуда x-y=1

а с доказательством?

[All_ex]

Гость, а с доказательством? - по условию `x^5 - y^5`- это простое число `p`... откуда x-y=1 - иначе противоречие с условием ...

[Гость]

а почему (x^5-y^5)/(x-y) - другой сомножитель - почему он не 1?

[All_ex]

Гость, а почему (x^5-y^5)/(x-y) - другой сомножитель - почему он не 1? - Хм... про возможность отрицательных чисел не подумал...

Тогда получается, что `{(x^5 - y^5 = p), (x - y = p):}`... откуда `x^5 - x = y^5 - y` ...
Рассмотрим значения функции `f(z) = z^5 - z` при `z in ZZ` ... (при помощи производной получаем, что) функция в целых точках неубывающая... следовательно, `x = y`, что противоречит условию... или `x != y in {-1;0;1}`, что тоже не даёт нечётного простого числа...