В треугольнике

[wpoms.]

Дан треугольник `ABC`. Длины сторон `BC`, `CA`, `AB` равны `a`, `b`, `c`, соответственно. Точки `D`, `E` являются серединами сторон `AC`, `AB`, соответственно. Докажите, что `BD` перпендикулярен `CE` тогда и только тогда, когда `b^2 + c^2 = 5*a^2`.

@темы: Планиметрия

Comments

[cube in cube]

Пусть `O` - точка пересечения медиант треугольника `ABC` . Пусть `BO = 2*x` и `CO = 2*y` , тогда `OD = x` и `OE = y`.
Из условия перпендикулярности медиант `BD` и `CE` имеем систему:
`{(4*x^2 + y^2 = c^2/4), (x^2 + 4*y^2 = b^2/4), (4*x^2 + 4*y^2 = a^2):}`
решая которую получаем `b^2 + c^2 = 5*a^2` ч.т.д

[Гость]

вообще-то требовалось доказать

тогда и только тогда

...

[All_ex]

Гость, вообще-то требовалось доказать тогда и только тогда...
Для длины медианы имеется формула вычисления длины по сторонам треугольника, откуда `BD^2 = {2*a^2 + 2*c^2 - b^2}/4, \ \ CE^2 = {2*a^2 + 2*b^2 - c^2}/4`...

Поскольку медианы делятся точкой пересечения (точкой `O`) в отношении `1:2`, то `BO^2 = {2*a^2 + 2*c^2 - b^2}/9, \ \ CO^2 = {2*a^2 + 2*b^2 - c^2}/9`...

Осталось в треугольнике `BOC` вычислить `BO^2 + CO^2 - BC^2 = {2*a^2 + 2*c^2 - b^2}/9 + {2*a^2 + 2*b^2 - c^2}/9 - a^2 = {b^2 + c^2 - 5*a^2}/9`...

Пусть `BD` перпендикулярен `CE`. Тогда по теореме Пифагора `BO^2 + CO^2 - BC^2 = 0`, откуда следует `b^2 + c^2 = 5*a^2`.
Пусть `b^2 + c^2 = 5*a^2`. Тогда по доказанному `BO^2 + CO^2 - BC^2 = 0`... а по теореме косинусов `BO^2 + CO^2 - BC^2 = 2*BO*CO*cos(/_BOC)` ... откуда `/_BOC = 90^o` ...

[kostyaknop]

Из формулы для длины медианы нетрудно убедиться, что равенства b^2+c^2=5a^2 и (2/3 m_b)^2+(2/3 m_c)^2 = a^2 равносильны.
2/3 каждой медианы - расстояние от вершины до точки пересечения медиан M.
Из теоремы Пифагора и обратной к ней ясно, что второе равенство равносильно тому, что треугольник BMC прямоугольный (с прямым углом M). Следовательно, первое равенство равносильно перпендикулярности медиан.

Вроде всё. В обе стороны.