Векторные пространства и их линейные преобразования

[FeelNight]

Здравствуйте!

Доказать, что все квадратные матрицы порядка n с вещественными элементами (или элементами из любого поля P) образуют векторное пространство над полем вещественных чисел (соответственно над полем P), если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.

Заранее спасибо

Решебник предоставляет ответ: Базис образуют, например, матрицы Eji(I,j=1,2,...,n), где Eji - матрица, элемент которой в i-й строке и j-м столбце равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Размерность равна n^2.

Является ли этот ответ верным? Нужно ли добавить ещё какое-то описание доказательства?

@темы: Линейная алгебра, Векторная алгебра

---

Математическая статистика

[Рейвэл]

Здравствуйте.

Прошу помочь с решением заданий по статистике. Я в математике абсолютно ничего не соображаю, поэтому мне для начала хотя бы узнать, на правильном ли я пути и правильно ли понимаю, что с этими заданиями вообще делать. А то никаких объяснений нам на парах, увы, не предоставили, а вот решение требуют... Под катом - сами задания и предполагаемый мною ход их решения с вопросами в тех местах, где мне непонятно.

Заранее спасибо.

Задание 1.

а) Составить вариационный ряд распределения
б) Составить статистический ряд распределения
в) Построить полигон относительных частот
г) Построить диаграмму (для относительных частот)

(тут предполагается таблица с числами, но как ее вставить - я не в курсе, поэтому просто записал столбиками)
8 10 3 5 1
0 7 4 8 2
1 5 4 9 3
9 5 2 0 10
4 9 3 8 1

Предполагаемый метод решения:
а) Нашел, что вариационный ряд - это последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке. То есть, чтобы этот ряд составить, нужно просто записать все числа, которые даны, по порядку, от меньшего к большему? Больше ничего делать не надо в этом пункте?

б) Чтобы построить статистический ряд, нужно расположить значения выборки в возрастающем порядке (получается, это уже сделано в пункте "а"), затем найти абсолютные частоты появления каждого значения выборки. После этого проверить условия нормировки:
1) n1 + n2 + …+ nk = n (объем выборки);
2) p1* + p2* + …+ pk* = 1.
Полученные данные записываются в таблицу.
Здесь понятно - просто посчитать по формулам.

в) Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x1; p1*), (x2; p2*), … , (xk; pk*). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты pi*.
Ну, здесь тоже понятно - просто отметить необходимые значения, которые были получены, и построить этот полигон.

г) А вот диаграмма? Как ее строить, какие значения там надо брать?
________________________________________________________________________

Задание 2.

а) Составить интервальный ряд распределения, выделив 6 групп с равными интервалами.
б) Построить гистограмму распределения.

98 54 21 64 33
100 77 60 81 24
50 32 84 79 60
21 100 98 74 97
85 79 21 29 45
29 48 45 55 96

Предполагаемый ход решения:
а) Построение интервального ряда начинается с упорядочивания выборки по возрастанию. Дальше следует определить xmin и xmax, а потом найти R по формуле R=xmax−xmin. Потом определить количество интервалов по формуле K≈√ n (к= квадратный корень из n). Затем найти ширину интервала
d=R/K.
А вот дальше я не знаю, что делать. В задании написано: "выделить 6 групп с равными интервалами", это как? Откуда эти группы взять?
И если я правильно понял, после выделения этих групп надо составить таблицу интервальной группировки.
По поводу таблицы мне непонятно, откуда берутся абсолютные частоты mi. Как их вычислять-то?
Относительные частоты - по формуле hi=mi/n
Еще нужно найти относительные накопленные частоты - про эти я тоже не понимаю. Там нашлась какая-то совсем непонятная формула, поэтому, если можно, поясните мне простым языком - что на что там надо поделить, умножить или какие еще действия с чем произвести?
Середина интервалов - это понятно.

б) А какие данные нужны для построения гистограммы распределения?
_______________________________________
Задание 3.

В трех классах А, Б, и В проводилась контрольная работа по математике. В классах учится от 20 до 35 человек.
Задание:
1. Для каждого класса найти выборочное среднее Хв.
2. Для каждого класса найти медиану.
3. Для каждого класса найти моду.
4. Найти выборочное среднее по трем классам двумя способами.
5. Найти Dмежгруп, Dвнутригруп, Dвыбор по всем трем классам.
Проверить взаимосвязь.

"2" "3" "4" " 5"
а. 6 8 5 7
б. 3 11 5 6
в. 7 9 7 4

Предполагаемый ход решения:

1. Чтобы найти выборочное среднее, нужно сложить значения выборки и поделить на количество единиц в ряду. Получается, для каждого класса нужно просто проделать это действие?
И я правильно понимаю, что значения выборки - это же 2, 3, 4, 5 в определенном количестве, которое указано в таблице? Т.е. надо, допустим, сложить 6 двоек, 8 троек, 5 четверок и 7 пятерок, а затем поделить их на 26 (кол-во единиц в ряду)?
2. Медиана для нечетного ряда - это просто число, которое находится посередине ряда. А для четного нужно найти среднее значение двух чисел посередине ряда. Это так?
3. Мода - это чаще всего встречающаяся величина. Поэтому для каждого класса это будет та оценка, которую получило большее число учеников, я правильно понимаю? Тогда везде будет одинаковая мода - 3, раз в каждом классе троек больше всего?
4. Один способ найти выборочное среднее я знаю - это тот, что описан в пункте 1. А еще какой есть?
5. Вот эти "D" представляют для меня загадку, поэтому прошу пояснить, что это и как оно ищется - должны же быть формулы, да? И какую еще взаимосвязь там надо проверять?

@темы: Математическая статистика

---

В треугольнике

[wpoms.]

Про треугольник `ABC` известно, что `BC=a`, `CA=b`, `AB=c` и `/_ B = 4 /_ A$. Покажите, что `a*b^2*c^3 = (b^2 - a^2 - a*c)*((a^2 - b^2)^2 - a^2c^2)`.

@темы: Планиметрия

---

Задача из теории множеств

[...Полярная Звезда...]

Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны отношения R1 объединение R2, R1 пересечение R2, R1 * R2, (R1)^-1

@темы: Бинарные отношения, Дискретная математика

---

[mkutubi]

С Днём Рождения, Дилетант!!!

@темы: Праздники

---

[Чудесный Принц]

Добрый день!

Мне хотелось бы прочесть доказательство Великой теоремы Ферма, которое было предложено Эндрю Уайлсом. Однако я не могу найти его в интернете. Где я могу найти приведённое доказательство?

Спасибо.

@темы: Теория чисел

---

Неравенство

[wpoms.]

Пусть `a,b,c` не равны нулю и `x,y,z` - положительные действительные числа такие, что `x+y+z=3`. Докажите, что `3/2 * \sqrt{1/{a^2} + 1/{b^2} + 1/{c^2}} >= x/{1+a^2} + y/{1+b^2} + z/{1+c^2}`

@темы: Доказательство неравенств

---

Производная

[DarthSidious]

`(delta u)/(delta x) = (delta u)/(delta xi) (delta xi)/(delta x) + (delta u)/(delta eta) (delta eta)/(delta x) = (-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)`
Тогда,
`(delta^2 u)/(delta x^2) = delta(((-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)))/(delta x) = ...`
Далее у меня возник вопрос, как посчитать следующее,
`(-cosx-1) delta(((-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)))/(delta xi)` ? (Это одно из слагаемых из производной выше)

Или на более просто примере,

@темы: Математический анализ, Уравнения мат. физики

---

Помогите с решением задачи

[ilmas113]

Найти производную
y=(tgx)^x^2
Ответ должен быть таким: y'=2x(tgx)^x^2(ln(tgx)+(x/sin2x))

@темы: Математический анализ

---

Помогите с решением примера

[ilmas113]

2x(tgx)^x^2(ln(tgx)+(x/sin2x))

@темы: Математический анализ

---

Доказательство

[wpoms.]

Дана плоская фигура с площадью равной `A > n`, где `n` - положительное целое число. Докажите, что фигуру можно поместить на координатной плоскости так, чтобы она накрывала по крайней мере `(n + 1)` точку с целыми координатами.

@темы: Планиметрия, Множества

---

[Amicus Plato]

В день Татьяны все студенты пьяны!

Дорогие студенты и не менее дорогие бывшие студенты и преподаватели! От всей души поздравляю вас с практически профессиональным праздником

---

Вставлю из прошлогодних поздравлений.

Почему студенты отмечают Татьянин день?

25 января 1755 г. императрица Елизавета Петровна подписала указ об учреждении Московского университета.
День был выбран не случайно. Основатель университета граф И. И. Шувалов приурочил открытие учебного заведения к именинам своей матери Татьяны Ростиславской.

Именно в этот день, 25 января, православная Церковь вспоминает святую Татиану Римскую. Она приняла мученическую смерть за веру в Христа.

В 1791 году в одном из флигелей главного здания университета на Моховой улице была создана домовая церковь святой мученицы Татианы, а сама святая была объявлена покровительницей всего российского студенчества.

В 60-70-е годы XIX века Татьянин день превратился в неофициальный студенческий праздник. Сначала его отмечали только в Москве, затем традиция распространилась и в других городах России, где были высшие учебные заведения.

Официальным праздником считалось 12 января. И только указом императора Николая I празднование Дня студентов было перенесено на 25 января — день подписания указа об основании Московского университета.

До революции у праздника были свои традиции и ритуалы. В Татьянин день устраивали гуляния. На улицы выходили преподаватели и профессура, студенты и выпускники высших учебных заведений — юристы, врачи, учителя и другие представители интеллигенции.

Схема празднования была универсальна: обедня, молебен с акафистом святой мученице Татиане, торжественное мероприятие при университете, затем развлечения.

Праздник отмечался достаточно шумно и весело. Полиции не рекомендовалось в этот день арестовывать и даже задерживать выпивших студентов, им наоборот оказывали помощь.

Студенты прогуливались по Большой Никитской и распевали гимн «Gaudeamus igitur». После толпа перемещалась к Тверскому бульвару, в излюбленные кабаки. Еще с семидесятых годов XIX века хозяин «Эрмитажа» француз Оливье отдавал студентам на этот день свой ресторан для празднования. На этом пиру за одним столом могли оказаться бедные студенты и именитые профессора — на один день учёное сообщество забывало про чины и становилось единым братством.

После 1917 года о Татьянином дне забыли на долгие десятилетия, однако в 1990-е годы праздник снова вернулся. Многие традиции, к сожалению, не сохранились.

День студента официально признали только в 2005 году: 25 января президент Владимир Путин подписал указ о дате праздника и присвоении ему высокого статуса общегосударственного.

Традиции празднования Дня студенчества для каждого города, каждого университета или колледжа иногда в значительной степени отличаются. Например, в Волгограде к этому дню открывается выставка работ, выполненных исключительно Татьянами. А в Белгородском государственном технологическом университете им. В. Г. Шухова ежегодный Татьянин бал открывается танцем со свечами — эта традиция восходит к дореволюционным торжественным шествиям со свечами в Московском университете. На другом конце страны, во Владивостоке ведут Большую книгу студенческих рекордов.

На Татьянин пили разные горячительные напитки. Дети из богатых семей могли позволить себе вино или шампанское. Для обычных студентов самым доступным напитком была медовуха. 25 января ее выкатывали на улицу прямо в бочках.

Традиция пить медовуху в День студента возникла еще в XIX веке. Тогда сладковатый и слабоалкогольный напиток был очень распространенным и популярным в народе.

После 100-летней годовщины Университета Татьянин день стал основным праздником студенчества. После официальной части праздника начиналось разгульное веселье. Московские рестораны в этот день заранее убирали подальше дорогую мебель и ковры: «господа студенты гулять изволят».

На праздник пили вино и шампанское, но больше всего – медовуху. Ведь это был один из самых доступных напитков, дешёвых и простых в приготовлении. 25 января во время народных празднований Дня студента на улицы выкатывали целые бочки с медовухой, которую тогда варили круглый год почти в каждом доме.

С 1923 года Татьянин день был запрещен, вместо привычного праздника власти ввели «День пролетарского студенчества».
(c) www.aif.ru/dontknows/file/1089483
www.aif.ru/dontknows/answer/1089532

@темы: Про самолеты, Праздники, Сообщество

---

[Amicus Plato]

Если бы я был богат, возможно, я не посвятил бы себя математике.
Жозеф Луи Лагранж

Сегодня исполнилось 280 лет со дня рождения Жозефа Луи Лагранжа.
Это картинка из Яндекса:

Она изображает точки Лагранжа:


Точки Лагранжа и эквипотенциальные поверхности системы двух тел (с учётом центробежного потенциала)


Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого (Солнце и Земля). В такой системе точки L3, L4, L5 показаны на самой орбите, хотя фактически они будут находиться немного за ней

Топик в сообществе

@темы: История математики, Люди

---

Ищу литературу, интернет ресурсы

[cube in cube]

Ищу литературу и интернет ресурсы с заданиями различных вузовских студенческих олимпиад по математике.
P.S. С заданиями олимпиады МФТИ знаком.

@темы: Поиск

---

Написать формулу общего члена ряда

[alligator76]

Написать формулу общего члена ряда
`1+(1*3)/(1*4)+(1*3*5)/(1*4*7)+(1*3*5*7)/(1*4*7*10)+...`

С числителем проблем нет. Это факториал всех нечетных чисел, т.е.

`sum_(n=0)^infty (2n-1)!!`

А как записать знаменатель? Это произведение чисел с шагом три. Но если записать факториал, то он будет подразумевать произведение всех чисел.

Как это записать математически? Прошу помощи.

@темы: Ряды

---

Точки на окружности

[wpoms.]

Существует ли такая окружность и такое бесконечное множество точек на ней, что расстояние между любыми двумя точками из этого множества является рациональным?

@темы: Планиметрия

---

Исследовать функцию трех переменных на экстремум

[IWannaBeTheVeryBest]

Значит дана такая функция
`u = zln(z) - z - z ln(xy) + xy + x^2+ 2y^2 - 4x - 2y`
Знаю, что надо составить систему уравнений из частных производных по всем аргументам и приравнять их к 0. Но тут очень страшные получаются частные производные. Я что-то не могу найти идею, как решить данную систему:
`(\delta u)/(\delta x) = -z/x + y + 2x - 4 = 0`
`(\delta u)/(\delta y) = -z/y + x + 4y - 2 = 0`
`(\delta u)/(\delta z) = ln(z) - ln(xy) = 0`
Может я частные производные неверно нашел. Просто как-то с логарифмами система вообще не идет.
Еще, если можно было бы ее привести сразу к квадратичной форме, то можно было бы сразу пользоваться критерием Сильвестра. Но ее видимо никак сразу так не привести к квадратичной форме. Опять логарифмы мешают. Просто ступор. Есть ли какие-то другие способы исследовать на экстремум эту функцию?

@темы: Математический анализ

---

Многочлен

[wpoms.]

Рассмотрим многочлен с неотрицательными действительными коэффициентами `p(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n`. Предположим, что `p(4) = 2` и `p(16) = 8`. Докажите, что `p(8) <= 4` и найдите, с доказательством, все такие многочлены, для которых `p(8) = 4`.

@темы: Теория многочленов, Доказательство неравенств

---

Исследовать на сходимость ряд

[alligator76]

Исследовать на сходимость ряд
`sum_(n=1)^(infty) (arctg ((1+(-1)^n)/2)n)/(n^3+2)`

Если `n` - четное, то `(-1)^n=1` и числитель имеет вид `arctg (n)`.
Если `n` - нечетное, то `(-1)^n=-1` и числитель равен нулю.

Получается, что этот ряд не является знакочередующимся. Напрашивается признак сравнения. Но я не понимаю, как к нему подойти.

@темы: Ряды

---

[wpoms]

Задания муниципального этапа по математике 2015-2016 учебного года

01 Республика Адыгея
Республиканская естественно-математическая школа
04 Республика Алтай

22 Алтайский край
Видеоразборы заданий муниципального этапа по математике
28 Амурская область

29 Архангельская область
Образование Архангельской области
30 Астраханская область

02 Республика Башкортостан
Отдел образования г. Октябрьский
31 Белгородская область

32 Брянская область
Отдел образования Дубровского района
03 Республика Бурятия

33 Владимирская область
Управление образования администрации муниципального образования Судогодский район
34 Волгоградская область

35 Вологодская область

36 Воронежская область

05 Республика Дагестан

79 Еврейская автономная область

75 Забайкальский край

06 Республика Ингушетия

37 Ивановская область
Региональный портал Ивановской области
38 Иркутская область
Образовательный портал г. Братска
07 Кабардино-Балкарская Республика

39 Калининградская область

08 Республика Калмыкия

40 Калужская область
Отдел образования Малоярославецкой районной администрации
41 Камчатский край

09 Карачаево-Черкесская Республика

10 Республика Карелия
Информационно-методический центр г. Олонец
42 Кемеровская область
Управление образования г. Юрги
43 Кировская область

11 Республика Коми

44 Костромская область
Образовательный портал Костромской области
23 Краснодарский край
Центр дополнительного образования для детей
24 Красноярский край
Информационно-методический центр г. Шарыпово
91 Республика Крым

45 Курганская область

46 Курская область

47 Ленинградская область

48 Липецкая область

49 Магаданская область

12 Республика Марий Эл

13 Республика Мордовия
Республиканский лицей
77 Москва
Московский центр непрерывного математического образования
50 Московская область
Региональный центр поддержки олимпиадного движения
51 Мурманская область

83 Ненецкий автономный округ

52 Нижегородская область
Департамент образования г. Саров
53 Новгородская область

54 Новосибирская область

55 Омская область
Портал региональной системы выявления и развития молодых талантов
56 Оренбургская область

57 Орловская область

58 Пензенская область

59 Пермский край
Региональные олимпиады Пермского края
25 Приморский край

60 Псковская область

61 Ростовская область

62 Рязанская область
Олимпиады школьников г. Рязани
63 Самарская область

78 Санкт-Петербург

64 Саратовская область

14 Республика Саха (Якутия)

65 Сахалинская область

66 Свердловская область
Дворец детского и юношеского творчества г. Нижний Тагил
15 Республика Северная Осетия — Алания

67 Смоленская область

26 Ставропольский край

68 Тамбовская область

16 Республика Татарстан
Электронное образование в Республике Татарстан
69 Тверская область

70 Томская область

71 Тульская область

17 Республика Тыва

72 Тюменская область

18 Удмуртская Республика
Центр столичного образования, г. Ижевск
73 Ульяновская область

27 Хабаровский край

19 Республика Хакасия

86 Ханты-Мансийский автономный округ — Югра
Департамент образования Нефтеюганского района
74 Челябинская область
Олимпийский портал
20 Чеченская Республика

21 Чувашская Республика

87 Чукотский автономный округ

89 Ямало-Ненецкий автономный округ
Департамент образования г. Салехард
76 Ярославская область
Межшкольный методический центр Угличского района

---

Обновления
2016.02.05 Добавлена информация по Удмуртской Республике.

@темы: Поиск, Олимпиадные задачи, Ссылки