Многочлен

[wpoms.]

Рассмотрим многочлен с неотрицательными действительными коэффициентами `p(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n`. Предположим, что `p(4) = 2` и `p(16) = 8`. Докажите, что `p(8) <= 4` и найдите, с доказательством, все такие многочлены, для которых `p(8) = 4`.

@темы: Теория многочленов, Доказательство неравенств

Comments

[Trotil]

1. Условию удовлетворяет p(x) = x/2
2. Из геометрических соображений, функция попеременно выпукла вниз и выпукла вверх на отрезке 4 < x0 < 16.
Значит, p''(x)=0 имеет некоторое решение, что противоречит условию, что a_i - неотрицательные действительные коэффициенты (кроме случая a_i = 0).
Следовательно, других многочленов нет.