Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Существует ли такая окружность и такое бесконечное множество точек на ней, что расстояние между любыми двумя точками из этого множества является рациональным? |  |
-
-
24.01.2016 в 13:28Расстояние между любой парой таких точек рационально выражается через тригонометрические функции угла между ними, а это все - функции от кратных углов, то есть рациональные функции от рациональных чисел.
-
-
24.01.2016 в 16:37Доказательство:
Имеет окружность радиуса `R` и центром в начале координат, тогда для любых двух точек, принадлежащих данной окружности получим:
`r = sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2) = R*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(a_1 - a_2))` , где `r` - расстояние между двумя точками данной окружности, а `a_1` и `a_2` углы радиус векторов точек с координатами `(x_1,y_1)` и `(x_2,y_2)` соответственно.
При `a_1 - a_2 = pi/2` и `R = k*sqrt(2)` , где `k in QQ` получаем:
`r = k*2*1 = 2*k` ч.т.д
-
-
24.01.2016 в 17:49-
-
24.01.2016 в 18:28Тогда так:
`r = R*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(a_1 - a_2)) = 2*R*|sin((a_1 - a_2)/2)|` тогда для выполнения условий поставленной задачи достаточно будет рассмотреть множество всех точек окружности таких что, для любых двух точек данного множества выполнялось бы условие `sin((a_1 - a_2)/2) in QQ`
-
-
25.01.2016 в 04:49Сразу существование таких точек не очевидно... в решении от kostyaknop есть указание на такое множество...
kostyaknop, в Вашем решении наверное надо потребовать не просто кратности, а чётной кратности... иначе синус половинного угла не выразится рациональным образом... или я чего-то не понял?...
-
-
25.01.2016 в 23:14-
-
25.01.2016 в 23:49Обычно "расстояние между точками" - это длина отрезка...
Кстати, посетила такая мысль.... в качестве "предельного" варианта решения можно предложить окружность бесконечного радиуса - то есть прямую ...
-
-
25.01.2016 в 23:51Обычно "расстояние между точками" - это длина отрезка...
-
-
26.01.2016 в 00:08Голосую за длину отрезка...
-
-
26.01.2016 в 00:14- выбирается произвольная точка А1;
- вдоль окружности отмеряется 2^(-1) - конец этой дуги - точка А2;
- и далее от точки Аn отмеряется дуга длиной 2^(-n) - конец этой дуги - точка A(n+1).
-
-
26.01.2016 в 00:15А знаем ли мы это наверняка?
-
-
26.01.2016 в 00:25Ну, тогда надо уточнять какая именно дуга (их две)...
Если наименьшая, то задача становится совсем тривиальной, поскольку задача становится равносильной рассмотрению отрезка `[0; 2*pi*R]`... тогда можно рассмотреть любое счётное подмножество рациональных чисел, содержащийся в части, которая имеет длину не превосходящую половину этого отрезка...
А знаем ли мы это наверняка?
"не будем множить сущее без необходимости"(с)...
-
-
26.01.2016 в 01:47Дорогой All_ex, с оговоркой "Eсли расстояние отсчитывается вдоль окружности..." решение задачи дано выше. Выбор дуги длину которой измеряют и полагают расстоянием между точками на верности решения задачи никак не сказывается. Тривиально ли решение или нет вопрос субъективный и опять таки для определения верности решения значения не имеющий. А бритвой Оккама отсекается не только моё но и ваше решение - "Кстати, посетила такая мысль.... в качестве "предельного" варианта решения можно предложить окружность бесконечного радиуса - то есть прямую ..."
Так что как-то так - сидим, решаем, а Германа всё нет...
-
-
26.01.2016 в 13:56Я не возражал против такой оговорки... просто немного обобщил выбор множества...
Выбор дуги длину которой измеряют и полагают расстоянием между точками на верности решения задачи никак не сказывается.
Вынужден с Вами не согласиться...
Вы рассматриваете единичную окружность... - вдоль окружности отмеряется 2^(-1) - конец этой дуги - точка А2; ... Но тогда большая дуга будет иметь длину `2*pi - 1/2`, что не будет рациональным числом...
Для избежания такого конфуза надо рассматривать радиус окружности, например, равный `1/pi`... (кстати, при таком выборе радиуса можно выкинуть условие, что подмножество рациональных чисел расположено на половине отрезка) ...
А бритвой Оккама отсекается не только моё но и ваше решение -
Свое решение я предлагал в качестве шутки... где совпадают дуга и отрезок...
-
-
26.01.2016 в 15:14вот с этим вот, с этим вот условием - и оно там тоже было, там, вверху - где я дал своё частное решение - так вот с этим вот условием куда бы мы расстояние вдоль окружности не измеряли бы - в моём частном решении - по или против часовой стрелки - это растояние будет рациональным числом.
если и после этого вы будете Вынужден с Вами не согласиться... - ну тогда я своё тривиальное решение объявляю шуточным и воздействию бритвы Оккама не поддающимся...
-
-
26.01.2016 в 16:31Что-то я не понял... то есть по Вашему, если между точками единичной окружности одна дуга рациональна, то вторая дуга тоже рациональна?...
-
-
26.01.2016 в 23:58Уважаемый All_ex - с этим условием - в моем решении задачи - с дугами, длины которых отсчитиваются в произвольном направлении - а длинами составляющими убывающую геометрическую последовательность со знаменателем 2:
Eсли расстояние отсчитывается вдоль окружности - а именно - полагаем что расстояние между точками C и D на окружности есть длина дуги окружности между точками C и D - то условиям задачи удовлетворяет, к примеру, окружность единичной длины и множество точек на ней строящееся следующим образом:
- выбирается произвольная точка А1;
- вдоль окружности отмеряется 2^(-1) - конец этой дуги - точка А2;
- и далее от точки Аn отмеряется дуга длиной 2^(-n) - конец этой дуги - точка A(n+1).
задача решатеся вполне.
Уважаемый оппонент - до тех пор пока мы не знаем наверняка, как именно Wpoms предлагает отсчитывать расстояния между точками на окружности - это решение имеет право жить и выдерживает критику, достойную и всякую вполне достойно.
Я могу даже заранее сказать, что как только Wpoms определит расстояние используемое в его задаче по Евклиду, то моё решение перестанет быть таковым.
А пока - пока All_ex - читать надо все решение а не только те части, которые кажутся вам неправильными, и если что-то вам кажется неправильным - рассмотрите варианты - а вдруг их кто-нибудь уже учёл в решении, где-нибудь строкой выше или ниже?
-
-
27.01.2016 в 00:07В первом случае - и это в рассмотрение вводите вы, не я - идет речь об окружности с радиусом в 1, во втором - а именно этот случай рассматриваю я - идет речь об окружности длиной в 1 - радиус такой окружности, очевидно, равен (2*П)^(-1) - а именно, величине обратной 2П.
Теперь все ясно?
-
-
27.01.2016 в 01:51Мдя... спасибо, что ткнули носом ...
это решение имеет право жить
Как я уже отмечал, я не против этого решения... просто был невнимателен к написанному...
как именно Wpoms предлагает отсчитывать расстояния между точками на окружности
Насколько я понимаю ТС тут совсем ни при чём... он просто публикует задачи различных школьных олимпиад... если кликнуть на эмблему олимпиады, то можно попасть в головной топик в сообществе, который посвящён этой олимпиаде...
Оригинал условия выглядит так: Do there exist a circle and an infinite set of points on it such that the distance between any two of the points is rational? ... тут надо уточнять у авторов задачи, хотя сделать это проблематично...