Олимпиада в Перу

[wpoms]

В Куско в 1589, Дон Манцио Серра де Легуисамо — последний оставшихся в живых из первых завоевателей Перу — писал о правителях инков следующее: Мы обнаружили эти государства в очень хорошем состоянии, и упомянутые Инка управляли ими так мудро, что среди них не было ни воров, ни порочных мужчин, ни неверных жен, ни распутных женщин, ни безнравственных людей. У мужчин были честные и полезные профессии. Земли, леса, шахты, пастбища, дома и все продукты труда были распределены таким образом, что каждый знал свою собственность, и ни один человек не претендовал на нее и не пытался захватить ее, местные законы не поощряли это… причина, которая обязывает меня об этом писать — очищение моей совести, поскольку я чувствую себя виновным. Мы уничтожили все это своим плохим примером, народ который имел такое правительство и был счастливой нацией. Они не знали преступлений или казней, как мужчины так и женщины, индеец, имеющий на 100,000 песо золота или серебра в своем доме, мог оставить его открытым, оставив маленькую палочку напротив двери, которая говорила о том, что он был хозяином этого имущества. Если он сделал это, по их традиции, никто ничего не мог взять там. Когда они увидели, что мы вешаем на двери замки и закрываем их на ключ, они решили, что мы боимся, что они могут убить нас, но они не верили, что кто-нибудь может украсть имущество другого. Когда они обнаружили воров среди нас, и людей, которые пытались соблазнить их дочерей, они стали презирать нас. Математическая олимпиада для школьников (ONEM) проводится в четыре этапа (школьный, муниципальный, региональный, национальный) с августа по ноябрь. В ней принимают участие школьники 1-2 классов (1 уровень), 3-4 классов (2 уровень), 5 класса (3 уровень) старшей школы. Итоги подводятся раздельно для категорий Альфа (учащиеся публичных школ) и Бета (учащиеся частных школ). В комментарии приведены условия первого этапа для учащихся первого уровня. Остальные задания ONEM 2012 будут публиковаться по мере подготовки переводов.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms]

Primera Fase - Nivel 1
Условия на испанском

1. Мне сказали, что во время путешествия из Лимы в Уанкайо на автобусе ужин подается в середине поездки. Если бы я выехал из Лимы в 06:00 часов пополудни и прибыл в Уанкайо в 11:20 вечера, то в какое время состоялся бы ужин?
A) 08:10 pm B) 08:50 pm C) 08:20 pm D) 08:40 pm E) 08:45 pm
(pm обозначает время после полудня, например, 5 pm соответствует 17 часам)

2. У меня есть 11 апельсинов и 13 яблок. Какое наименьшее количество фруктов должен я съесть, чтобы яблок осталось в два раза больше, чем апельсинов?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 9

3.У Лауры в школе по расписанию шесть уроков. Также имеются два перерыва по 20 минут каждый. Если один урок длится 45 минут и занятия начинаются в 08:00, то в какое время Лаура заканчивает учебу?
A) 1:20 pm B) 12:30 pm C) 02:40 pm D) 02:10 pm E) 01:10 pm
(pm обозначает время после полудня, например, 5 pm соответствует 17 часам)

4. Какое из следующих чисел является кратным сумме его цифр?
A) 2012 B) 2013 C) 2014 D) 2015 E) 2016

5. Две футбольные команды решили сыграть 8 игр в течение лета. В каждой игре за победу команда получает 3 очка, а проигравший 0 очков. В случае ничьей каждая команда получает 1 балл. После восьмой игры две команды набрали в сумме 22 очка. Сколько игр закончились вничью?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. В классе 70% школьников изучают математику, 80% изучают коммуникации и 60% изучают оба предмета. Какой процент учащихся не изучает оба эти предмета?
A) 10% B) 20 % C) 30% D) 40% E) 50%

7. Сумма трех трехначных чисел `bar{a7b}`, `bar{b8a}` и `bar{9ac}` равна 2012. Найдите значение `b`.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

8. Рассмотрим все натуральные числа, которые записаны с использованием только цифр 0, 1 и 2. Расположенные по порядку эти числа образуют бесконечную последовательность:

1, 2,10,11,12,..., 2010, 2011, 2012, a, b,c,d,...

Найти значение d—a.
A) 81 B) 88 C) 80 D) 89 E) 82

9. Числа от 1 до 8 должны быть помещены в кругах (по одному числу в каждом круге), так, что сумма любых трех чисел, расположенных на одной прямой, равна 14. Какое число должно быть помещено в круг, который отмечен х?

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

10. Какое максимальное количество вторников может быть среди 60 последовательных дней?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

11. Иосиф должен купить равное количество кондитерских изделий (альфахор) каждому из 5 человек. В булочной продают коробки с 2 или 7 штуками альфахор . Какое наименьшее количество коробок должен купить Иосиф?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Найти наибольшее положительное целое число n, для которого `3^n` является делителем числа 112266.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13. Пусть N будет четырехзначное число такое, что все его четыре цифры различны. Умножив N на 9 получаем четырехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Вычислите сумму квадратов цифр числа N.
A) 112 B) 130 C) 132 D) 146 E) 227

14. Цифры a, b, c удовлетворяют равенству `bar{ba}^2 = bar{cb}^3`. Найдите значение a + b + c.
A) 11 B) 12 C) 15 D) 18 E) 19

15. В математической олимпиаде принимают участие школьные команды, состоящие из трех школьников. Все школьники встали в очередь, чтобы зарегистрироваться для участия в олимпиаде. Сандра, Рауль и Томас из одной школы. Когда все школьники встали в очередь, то Сандра подсчитала, что перед ней стояло такое же количество школьников, что и за ней, кроме того, за ней стояли Рауль и Томас. Рауль стоял на 19 месте с начала очереди и Томас стоял на 28-м месте. На каком месте стояла Sandra?
A) 14 B) 17 C) 15 D) 18 E) 16

16. Торговец покупает банку кофе по S/ 10 и продает за S/ 14, получая 40% дохода (по стоимости). Продавая банку какао он получает 20% дохода. Если банок кофе продано в два раза больше, чем банок какао, и известно, что общий доход составил 36%, то по какой цене продавалась одна банка какао?
A) S/. 5,00 B) S/. 5,40 C) S/. 5,80 D) S/. 6,00 E) S/. 7,20

17. Учитель попросил своих учеников найти N целых чисел, сумма которых равна 0 и произведение которых равно N. Через несколько минут, некоторые из школьников сказали следующее:
■ Анна сказала: Я считаю, что не существует число N с этими свойствами.
■ Беатрис сказала: Я думаю, что такое число действительно существует и что это число четное.
■ Карлос сказал: Я, однако, считаю, что n должно быть нечетным.
■ Давид сказал: Я думаю, что N может быть и четным и нечетным.
Кто из них прав?
A) Анна B) Беатрис C) Карлос D) Давид E) Все ошиблись.

18. Андрес сказал Рейчел, что он написал в своей записной книжке 5 различных натуральных чисел, а также сказал, чему равна их сумма. С этой информацией Рейчел может определить, какие числа написал Андрес. Сколько различных значений может принимать сумма чисел, которые записал Андрес?
A) 1 B) 5 C) 2 D) 4 E) 3

19. В результате сложения трех двузначных чисел получается трехзначное число:

Все цифры различны и ни одна из них не равна нулю. Какая наибольшая сумма может получиться? В ответе укажите произведение цифр этой суммы.
A) 12 B) 20 C) 24 D) 40 E) 50

20. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в которых числа 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 расположены по возрастанию, но в тоже время числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 не расположены в порядке возрастания?
Пример: Примером перестановки чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, удовлетворяющей условию задачи, является 129384567.
A) 63 B) 56 C) 64 D) 55 E) 72

Продолжительность - 2 часа.

[All_ex]

Спасибо...

[~ghost]

Спасибо!
задачи легкие - но это только "первый уровень".. (для младших - наверное, и не легко..)

А про инков - красиво!

[Дилетант]

Спасибо!

[wpoms]

ONEM 2012 - Первый этап - Первый уровень
ONEM 2012 - Первый этап - Второй уровень
ONEM 2012 - Первый этап - Третий уровень

---

Ответы на задания первого этапа

[wpoms]

ONEM 2012 - Второй этап - Первый, второй, третий уровни

Ответы на задания второго этапа

[wpoms.]

ONEM 2012 - Третий этап

Первый уровень
Второй уровень
Третий уровень

Ответы на задания третьего этапа

[wpoms]

ONEM 2012 - Четвертый этап - Первый уровень
Условия на испанском

1. Произведение трех различных натуральных чисел равно `19600000` и их наибольший общий делитель равен `d`. Чему равно наибольшее значение `d`?
Обсуждение

2. В кассе городского стадиона билеты можно оплатить только монетами по S /. 2 и S /. 5. В начале дня в кассе не было денег, а в после завершения продажи билетов в ней находилось S /. 1003. Покажите, что вы можете выбрать группу монет, общая стоимость которых будет равна S /. 199.

3. Некоторые клетки доски размером `10 times 10` отмечены знаком `X`:

На доске нужно разместить полоски размером `1 times 3` или `3 times 1`, они показаны на рисунке ниже:

Каждая полоска бумаги должна занимать ровно три клетки доски, полоски не могут перекрываться и все клетки, отмеченные знаком `X`, должна быть покрыты. Какое наименьшее количество полосок потребуется для выполнения всех этих условий?

4. В каждой клетке таблицы `9 times 9` нужно написать 0 или 1. Сколькими способами это можно сделать, если сумма четырех чисел в каждом фрагменте таблицы размером `2 times 2`, `1 times 4`, `4 times 1` должна быть одинакова?
Обсуждение

[wpoms.]

ONEM 2012 - Четвертый этап - Второй уровень
Условия на испанском

1. В прямоугольный треугольник `ABC` с прямым углом `B` вписана окружность, которая касается `AB` в точке `D`, `BC` в точке `E` и `AC` в точке `F`. `/_FDC = 2*/_DCB`. Докажите, что `AF = BC`.

Обсуждение

2. Найдите все пары `(a; b)` действительных чисел, которые удовлетворяют равенству: `sqrt{a} + sqrt{b} + sqrt{a + b - 4} = sqrt{a*b} + 2`.
Обсуждение

3. На доске написаны числа `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` и `10`. Операция заключается в выборе двух чисел (обозначим их как `a` и `b`) , и замене одного из них на `a + b`, а другого на `|2*a - b|` или `|2*b - a|`.
а) Можно ли после выполнения некоторых операций получить 10 равных чисел.
б) Если после выполнения некоторых операций можно получить 10 равных чисел `k`, то чему равно наименьшее значение, которое может принять k.
Обсуждение

4. Назовем число потенциальным, если его можно представить в виде `a^b`, где `a` и `b` - целые числа, большие 1.
Существует ли множество `X`, состоящее из 25 нечетных натуральных чисел, меньших 21000, для которого верно, что для любого подмножества его чисел `x_1, x_2, \ldots, x_k`, где `6 <= k <= 10`, и любых чисел `a_1, a_2, \ldots, a_k`, где `a_i in {1; 2}` и `a_1 + a_2 + \ldots + a_k = 10`, сумма `a_1*x_1 + a_2*x_2 + \ldots + a_k*x_k` является потенциальным числом?
Обсуждение

[wpoms.]

ONEM 2012 - Четвертый этап - Третий уровень
Условия на испанском

1. Для каждого натурального числа, имеющего каноническое разложение на множители `n = p_1^{a_1} * p_2^{a_2} * \ldots * p_k^{a_k}`, определим `t(n) = (p_1 + 1)*(p_2 + 1)*ldots*(p_k + 1)`.
Например, `t(20) = t(2^2 * 5^1) = (2 + 1)(5 + 1) = 18`, `t(30) = t(2^1 * 3^1 * 5^1) = (2 + 1)(3 + 1)(5 + 1) = 72` и `t(125) = t(5^3) = (5 + 1) = 6`.
Назовем натуральное число `n` особенным, если `t(n)` является делителем `n`. Сколько среди положительных делителей числа `546^10` особенных чисел?
Обсуждение

2. Пусть `x, y` ненулевые действительные, которые удовлетворяют следующему равенству

`x^3 + y^3 + 3*x^2*y^2 = x^3*y^3`.

Определите все значения, которые может принимать выражение `1/x + 1/y`.
Обсуждение

3. Домино представляет собой прямоугольник `1 times 2` или `2 times 1`. Диего хочет полностью покрыть доску `6 times 6` с помощью 18 домино. Определить наименьшее целое положительное число `k`, для которого Диего может разместить `k` домино на доске (без перекрытия) так, что остальная часть доски может быть покрыта оставшимися домино единственным способом.
Обсуждение

4. Дана окружность `S` и ее хорда `AB`, `M` - середина дуги `AB`. Пусть `P` - точка отрезка `AB` отличная от его середины. Продолжение отрезка `MP` пересекает `S` в точке `Q`. Пусть `S_1` - окружность, которая касается отрезков `AP` и `MP`, а также окружности `S`, и пусть `S_2` - окружность, которая касается отрезков `BP` и `MP`, а также окружности `S`. Общие внешние касательные к окружностям `S_1` и `S_2` пересекаются в точке `C`. Докажите, что `/_MQC = 90^o`.
Обсуждение