Уравнение

[wpoms.]

Найдите все пары `(a; b)` действительных чисел, которые удовлетворяют равенству: `sqrt{a} + sqrt{b} + sqrt{a + b - 4} = sqrt{a*b} + 2`.

@темы: Иррациональные уравнения (неравенства)

Comments

[Epygraph]

Заметим, что все пары `(a,4)`, `(4,b)`, где `a\ge 0,b\ge 0`, удовлетворяют данному уравнению. Поэтому можно несколько раз применить возведение в квадрат с целью избавиться от радикала и разделить без остатка полученный в итоге многочлен высокой степени относительно `a,b` на `a-4` и `b-4` в первой степени. В действительности, можно сократить на `(a-4)^2(b-4)^2`. У меня после сокращения остался многочлен `-a^2*b^2+8*a*b-16` или `a*b=4`, но все такие пары являются посторонними, кроме перечисленных с самого начала случаев.

[Гость]

Возможно удобнее, с учетом неотрицательности a и b, сделать замену a=x^2, b=y^2

[Epygraph]

Возможно удобнее, с учетом неотрицательности a и b, сделать замену a=x^2, b=y^2

Да, так удобнее. Мои вычисления на самом деле выполнял Maple. С `x` и `y` достаточно одного возведения в квадрат и деления на `(x-2)(y-2)`. Остается `xy+2`.

[All_ex]

Если обозначить `{(u = sqrt{a} + sqrt{b}), (v = sqrt{a*b} + 2):} \ \ => \ \ u^2 = a + b + 2*v - 4 \ \ => \ \ a + b - 4 = u^2 - 2*v`, то уравнение перепишется в виде `u + sqrt{u^2 - 2*v} = v`...
Переносим и возводим в квадрат... `u^2 - 2*v = u^2 - 2*u*v + v^2` откуда `v = 0` или `v = 2u - 2`...

В первом случае `sqrt{a*b} + 2 = 0` не имеет решений....
Во втором получаем `sqrt{a*b} + 2 = 2*sqrt{a} + 2*sqrt{b} - 2 \ \ => \ \ sqrt{a*b} - 2*sqrt{a} - 2*sqrt{b} + 4 = 0 \ \ => \ \ (sqrt{a} - 2)*(sqrt{b} - 2) = 0`...

Ну, как-то так...