[wpoms]

Олимпиада в Перу

ONEM 2012 - Второй этап - Первый, второй, третий уровни

Условия в комментариях

---

Задания и ответы ONEM 2012

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms]

Segunda Fase - Nivel 1
Условия на испанском

1. Два брата, Ренцо и Эндрю, копили деньги, чтобы купить общий велосипед (они хотят купить одну и ту же модель велосипеда). Ренцо известно, что ему не хватает на S/. 10,00 меньше, чем не хватает Эндрю, чтобы купить велосипед. Если они объединят все свои деньги, то купят велосипед за S/. 350,00. Сколько денег скопил Эндрю?

2. Группа из 10 ткачей обещали изготовить некоторое количество свитеров в течение 40 дней. Они решили работать каждый день и работать одно и то же количество часов в день. В конце двадцатого дня они поняли, что они изготовили лишь треть от общего числа свитеров. Сколько еще ткачей должны начать работу на следующий день для того чтобы они могли выполнить работу в срок?

3. Каждый сотрудник компании получил вознаграждение в S/. 650,00. Фернандо, который задолжал деньги своим коллегам, потратил все вознаграждение на оплату своих долгов, в результате чего у всех его коллег оказалось S/. 800,00, за исключением одного, у которого оказалось S/. 850,00. Сколько человек, включая Фернандо, работает в компании?

4. На рисунке можно выделить 14 квадратов:

Сумма периметров этих 14 квадратов равна 480 см. Чему равна в кв. см. площадь заштрихованной части квадрата?

5. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Какое наименьшее количество чисел нужно стереть с доски, для того чтобы произведение оставшихся чисел было равно 630?

6. Назовем арифметическим дополнением четырехзначного числа такое число, сумма которого с данным числом равна 10000. Например, арифметическим дополнением числа 1230 будет 8770, арифметическим дополнением числа 6205 будет 3795. Сколько четырехзначных чисел кратно их арифметическим дополнениям?

7. Назовем словом любую последовательность букв A и M. Рассмотрим следующую последовательность слов:

M, A, AM, AMA, AMAAM,...

Первое слово в последовательности M и каждое следующее слово образовано по таким правилам:
■ Каждая буква M заменяется на букву A.
■ Каждая буква A заменяется на слово AM.
Количество букв M в некотором слове последовательности между 60 и 100. Определить, сколько букв A в этом слове.

8. В левом кармане у меня 5 красных и 6 синих шариков, их диаметр равен 1 см. В правом кармане у меня 3 красных и 4 синих шариков, их диаметр равен 2 см. Не глядя я вынимаю n шариков из левого кармана и n шариков из правого кармана. Определите наименьшее значение n, для которого я гарантированно найду среди вынутых из карманов шариков пару шариков одного цвета и разных размеров.

9. Родители Хуанито подарили ему землю, имеющую форму квадрата, разделенного на 16 квадратных участков, некоторые из них были подарены ему мамой (они помечены буквой M), другие подарены ему папой (они отмечены P):

Хуанито хочет построить свой ​​дом, используя некоторые участки, так что его основанием будет прямоугольник. Сколькими способами можно выбрать участки для основания дома, если среди них должны быть хотя бы по одному участку, которые подарены каждым из родителей?
Уточнение: Учтите также, что квадраты являются прямоугольниками, то есть основание дома также может быть квадратным.

10. Из множества {1,2,3, ..., n} выбирают 10 различных натуральных чисел и записывают их в клетки доски 2 x 5, так что произведение чисел в каждом ряду и произведение чисел в каждой колонке является полным квадратом. Найдите наименьшее n для которого это возможно.

Продолжительность - 2 часа

[wpoms]

Segunda Fase - Nivel 2
Условия на испанском

1. Саул получил в наследство показанный на рисунке участок земли. Любые две его последовательные стороны перпендикулярны. Определите, чему равна в квадратных метрах площадь участка, если все размеры, которые указаны на рисунке, выраженны в метрах.

2. Каждый сотрудник компании получил вознаграждение в S/. 650,00. Фернандо, который задолжал деньги своим коллегам, потратил все вознаграждение на оплату своих долгов, в результате чего у всех его коллег оказалось S/. 800,00, за исключением одного, у которого оказалось S/. 850,00. Сколько человек, включая Фернандо, работает в компании?

3. Однажды студенты спросили учителя о его возрасте. Он ответил следующим образом: Мой нынешний возраст является кратным 5, 2 года назад он был кратен 11, а в следующем году он будет полным квадратом меньшим 100. Сколько лет учителю в настоящее время?

4. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Какое наименьшее количество чисел нужно стереть с доски, для того чтобы произведение оставшихся чисел было равно 630?

5. На рисунке приведен график `P(x) = a*x^2 + b*x + c`:

Если сумма корней P(x) равна 5, то чему равно значение P(5)?

6. Действительные числа `a` и `b` удовлетворяют равенствам `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 900` и `a^2 + ab + b^2 = 45`. Вычислите `(2a - 2b)^2`.

7. В левом кармане у меня 5 красных и 6 синих шариков, их диаметр равен 1 см. В правом кармане у меня 3 красных и 4 синих шариков, их диаметр равен 2 см. Не глядя я вынимаю n шариков из левого кармана и n шариков из правого кармана. Определите наименьшее значение n, для которого я гарантированно найду среди вынутых из карманов шариков пару шариков одного цвета и разных размеров.

8. Родители Хуанито подарили ему землю, имеющую форму квадрата, разделенного на 16 квадратных участков, некоторые из них были подарены ему мамой (они помечены буквой M), другие подарены ему папой (они отмечены P):

Хуанито хочет построить свой ​​дом с прямоугольным основанием. Сколькими способами можно выбрать участки для основания дома, если среди них должны быть хотя бы по одному участку, которые подарены каждым из родителей?
Уточнение: Учтите также, что квадраты являются прямоугольниками, то есть основание дома также может быть квадратным.

9. Определите, сколько натуральных чисел N одновременно удовлетворяют следующим условиям:
■ `300 <= N <= 500`.
■ Тремя меньшими положительными делителями `N` являются `1`, `3` и `9`.

10. Фишка домино состоит из двух склеенных квадратных кусков, т.е. это прямоугольник размером `1 times 2` или `2 times 1`. Доска покрывается 8 фишками, после чего умножают каждые два числа, которые покрыты одной фишкой, и складывают эти восемь произведений. Какое наибольшее значение может принять эта сумма?

Продолжительность - 2 часа

[wpoms]

Segunda Fase - Nivel 3
Условия на испанском

1. `3! * 5! * 7! = n!`. Найдите `n`.
Примечание: Факториалом натурального числа m (обозначается m!) называют произведение первых m натуральных чисел, то есть, `m! = 1 * 2 * ... * m`.

2. Известно, что вес объекта на Луне соответствует шестой части его веса на Земле. Разница в весах двух булыжников на Земле составляет 4 кг, а на Луне их общий вес равен 15 кг. Сколько кг весит тяжелый булыжник на Земле?

3. Однажды студенты спросили учителя о его возрасте. Он ответил следующим образом: Мой нынешний возраст является кратным 5, 2 года назад он был кратен 11, а в следующем году он будет полным квадратом меньшим 100. Сколько лет учителю в настоящее время?

4. На доске написаны числа `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`. Какое наименьшее количество чисел нужно стереть с доски, для того чтобы произведение оставшихся чисел было равно `630`?

5. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник `ABC` с прямым углом `B`. Точка `P` лежит на гипотенузе `AC`, причем `AP + BP = PC`. Если обозначить `alpha = /_PBA` и `beta = /_PBC`, то чему равно значение выражения `(6beta)/alpha`.

6. Действительные числа `a` и `b` удовлетворяют равенствам `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 900` и `a^2 + ab + b^2 = 45`. Вычислите `(2a - 2b)^2`.

7. На рисунки изображены параллельные прямые `L_1` и `L_2` и равносторонний треугольник `ABC`. Расстояние от точки `A` до прямой `L_2` равно половине расстояния от `A` до прямой `L_1`. Вычислите значение `3 sec^2 alpha`.

8. Определите, сколько натуральных чисел `N` одновременно удовлетворяют следующим условиям:
■ `300 <= N <= 500`.
■ Тремя меньшими положительными делителями `N` являются `1`, `3` и `9`.

9. Фишка домино состоит из двух склеенных квадратных кусков, то есть это прямоугольник размером `1 times 2` или `2 times 1`. Доска покрывается 8 фишками, после чего умножают каждые два числа, которые покрыты одной фишкой, и складывают эти восемь произведений. Какое наибольшее значение может принять эта сумма?

10. Три окружности пересекаются в точках `P` и `Q`. Прямая пересекает окружности в точках `A, B, C, D, E` и `F`, как это показано на рисунке. `AB = 5`, `EF = 4` и `AF = 20`. Определите сколько целых значений может принимать `CD`.

Продолжительность - 2 часа

[Дилетант]

Спасибо!
Классные условия задач, особенно про землю, подаренную или полученную в наследство)
Сразу видно, что теория идет от практики.
Бурбаки бы лопнул от досады...

[All_ex]

Спасибо...
Хм... несмотря на простоту заданий, ответы у меня сходятся не во всех заданиях...

[All_ex]

Аааа... ... считать надо аккуратнее...
Ладно буду считать дальше...