[wpoms.]

Олимпиада в Перу

ONEM 2012 - Третий этап - Третий уровень

Tercera Fase - Nivel 3
Условия на испанском

1. Дон Аварон продает мешки с рисом и сахаром по 10 кг каждый, однако на самом деле каждый мешок весит лишь 9,60 килограмма. Однажды торговец купил у него 7 мешков риса и несколько мешков сахара, добравшись до своего магазина и взвесив купленный товар торговец с удивлением обнаружил, что товар весит на 6 килограммов меньше положенного. Сколько мешков сахара купил торговец?

2. На рисунке показаны два квадрата, длина стороны меньшего квадрата равна 2 см, а длина стороны большего квадрата равна 7 см. Стороны меньшей закрашенной фигуры параллельны сторонам большей закрашенной фигуры. Найти общую площадь закрашенных фигур в кв. см.

3. Хайме является спортсменом, на тренировке он должен был пробежать 11 кругов. Первый круг он пробежал за 75 секунд и на каждом круге улучшал свое время на 1 секунду до тех пор, пока он не устал и его время не стало увеличиваться на 2 секунды за круг. Хайме пробежал 11 кругов за 13 минут и 8 секунд. За какое время он пробежал свой самый быстрый круг?

4. Для угла `x` верно равенство `(5*sin(x) + 5*cos(x) - 3)*(5*sin(x) + 5*cos(x) + 3) = 20`. Найдите значение выражения : `(4 + 5*sin(x)- 5*cos(x))*(5*sin(x)- 5*cos(x) - 4)`.

5. Домино представляет собой прямоугольник `2 times 1` или `1 times 2`. Педро покрыл домино всю доску `8 times 8`, использовав для этого 32 домино, и заметил, что `N` домино полностью расположены в центральном квадрате `6 times 6`. Найдите наименьшее возможное значение `N` для описанной выше ситуации.

6. Для каждого целого числа `k` обозначим число действительных решений уравнения `||x|-4| = k` как `f(k)`.
Например, `f(0) = 2`, так как уравнение `||x|-4| = 0` имеет ровно два действительных решения: `4` и `-4`.
Сколько различных значений может принимать `f(k)`?

7. Сколько натуральных чисел меньших, чем 130, имеют ровно четыре составных делителя?
Примечание: Помните, что составным числом является число, которое имеет более двух положительных делителей. Например, число 12 имеет ровно три составных делителя: 4, 6 и 12.

8. `ABCDE` - выпуклый пятиугольник, `ABDE` - ромб, `/_ABC = /_CDE = 135^@`. Пусть `M` и `N` - точки пересечения `AC` и `EC` с `BD`, соответственно. `BM = 10` и `ND = 70`. Найдите `MN`.

9. На доске записаны числа: `1, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16`. За один ход с доски стираются два числа `a` и `b` и записывается одно из чисел `(a + 4*b)/9` или `(4*a + b)/9`. После 15 ходов на доске остается одно число. Пусть `m` - наименьшее значение, которое может иметь это число. Найдите `81*m`.

10. Скажем, что натуральное число является отцом близнецов, если у него есть два делителя вида `bar{ab}` и `bar{ba}`, `a != b`. Определите, сколько трехзначных чисел являются отцами близнецов.

---

Задания и ответы ONEM 2012

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[All_ex]

Спасибо...