Олимпиада в ПеруONEM 2012 - Третий этап - Второй уровень
читать дальше
Tercera Fase - Nivel 2
Условия на испанском
1. Все цифры натурального числа различны и их произведение равно `n`. Сколько элементов множества `{126;128;130;132;135}` могут быть значением `n`?
2. В начале встречи, когда шестая часть всех людей стояла, седьмая часть от общего числа стульев были свободны. Когда все решили сесть на стулья, то не хватило двух стульев. Сколько человек присутствовало на встрече?
3. Андреа и Паола поселились в многоэтажном отеле. На первом этаже апартаментов нет, на втором этаже располагаются апартаменты с номерами 1-10, на третьем - 11-20, на четвертом - 21-30 и так далее. Номер этажа, на котором поселилась Андреа, соответствует номеру апартаментов, в котором поселилась Паола. Если сложить номера апартаментов, в которых поселились Андреа и Паола, то получится 115. Какой номер у апартаментов, в которых поселилась Андреа?
4. На рисунке изображены два правильных многоугольника, `O` - центр правильного шестиугольника. Найдите, в градусах, величину угла `/_FOI`.
5. Сколько действительных решений имеет уравнение: `(2^x - 4)^3 + (4^x - 2)^3 = (2^x + 4^x - 6)^3`?
6. На рисунке изображен семиугольник `ABCDEFG`, длины всех его сторон равны 2. `/_DEF = 120^o`, `/_BCD = /_FGA = 90^o` и `/_GAB = /_ABC = /_CDE = /_EFG`. Если площадь семиугольника равна `S`, то чему равно натуральное число `n`, удовлетворяющее неравенству `n <= S < n + 1`?
7. Найдите наименьшее натуральное число `N`, которое удовлетворяет всем следующим условиям:
■ `N` не кратно 5.
■ Умножив `N` на 2012 и стерев цифры 0 результата (если они в нем будут), получаем число, все цифры которого различны.
8. В каждую клетку доски размером `7 times 7` записывают 1 или 2, так что сумма четырех чисел в каждом прямоугольнике размером `1 times 4` или `4 times 1` четна. Сколькими способами это можно сделать?
9. Сколько натуральных чисел `bar{abcd}`, с четырьмя ненулевыми цифрами, удовлетворяют равенству `(2*a - 1)*(2*b - 1)*(2*c - 1)*(2*d - 1) = 2*a*b*c*d - 1`?
10. Фишки, изображенные на рисунке и состоящие из 5 квадратов каждая, называются C-пентамино:
Некоторые клетки доски `10 times 10` покрашены в черный цвет и каждая фишка C-пентамино, расположенная на доске, покрывает, по крайней мере, одну окрашенную клетку. Найдите наименьшее количество клеток, которые могут быть покрашены при выполнении этого условия.
Продолжительность - 2 часа
Задания и ответы ONEM 2012
@темы:
Олимпиадные задачи
-
-
04.04.2013 в 15:00А вот интересно... в последней задаче С-пентамино должны покрывать всю доску?...
-
-
04.04.2013 в 17:39Мне не удалось с ходу замостить всю доску
-
-
04.04.2013 в 19:17Тогда ответ 1... читать дальше
-
-
04.04.2013 в 19:18-
-
04.04.2013 в 19:21Ответ: 24 ))
Нужно уточнить перевод
-
-
04.04.2013 в 19:28-
-
04.04.2013 в 19:33-
-
04.04.2013 в 19:40Пустая доска, закрашенные клетки, размещаем одну фишку в произвольном месте, количество видимых черных клеток уменьшается, по крайней мере, на одну.
-
-
04.04.2013 в 19:45Или я не о том?...
-
-
04.04.2013 в 19:50Вопрос о мощении доски не ставится.
Если бы мы закрасили, через одну, половину клеток доски (50 штук), то при размещении одной фишки в любом месте условие будет выполнено, фишка закроет 1, 2,.. черных клеток. Задача заключается в минимизации количества черных клеток.
-
-
04.04.2013 в 19:55-
-
04.04.2013 в 20:00Нет, фишка одна (четыре варианта ориентации) и доска с черными и белыми клетками.
-
-
04.04.2013 в 20:03