Стираем и пишем

[wpoms.]

На доске написаны числа `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` и `10`. Операция заключается в выборе двух чисел (обозначим их как `a` и `b`) , и замене одного из них на `a + b`, а другого на `|2*a - b|` или `|2*b - a|`. а) Можно ли после выполнения некоторых операций получить на доске `10` равных чисел? б) Если после выполнения некоторых операций можно получить `10` равных чисел `k`, то чему равно наименьшее значение, которое может принять `k`?

@темы: Теория чисел

Comments

[All_ex]

а) Можно ли после выполнения некоторых операций получить на доске `10` равных чисел? - можно...
Вот последовательный набор преобразований...

Зачёркнутые в строке числа в следующей заменяются ... для однообразия - под правым заменённым числом стоит сумма, а под левым `|2*a - b|` или `|2*b - a|`...

Ну, как обычно, про минимальность только смутные догадки...
Типа, если есть два числа, которые после преобразования дают `k`, это либо `{(a = {2*k}/3), (b = k/3):}` либо `{(a = 0), (b = k):}`... но поскольку нулей не так много, то `k` кратно трём...
Честно говоря, с `k = 12` и `k = 15` у меня не получилось... посему возникла ещё более смутная догадка про то, что `k` должно быть кратно девяти... (но тут я вообще как собака Павлова... слюни текут, а сказать не могу... :shuffle2

[Гость]

Спасибо ...