Предположим, что множество $\{1,2,\cdots, 1998\}$ может быть разбито на непересекающиеся множества $\{a_i,b_i\}$ ($1\leq i\leq 999$) так, что для всех $i$ значение выражения $|a_i-b_i|$ равно 1 или 6. Докажите, что сумма $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots +|a_{999}-b_{999}|$ оканчивается цифрой 9. |  |
Докажите, что для любого целого числа $n$ существует уникальный многочлен $Q(x)$ с коэффициентами, принадлежащими множеству $\{0,1,\ldots,9\},$ такой, что $Q(-2)=Q(-5)=n.$ | |
Простые числа $p_1,p_2,p_3,\ldots$ пронумерованы в порядке возрастания. Пусть действительное число $x_0$ принадлежит интервалу $(0, 1).$ Для положительного целого числа $k$ определим $x_{k}=0,$ если $x_{k-1}=0$ и $x_{k}= \left\{\frac{p_{k}}{x_{k-1}}\right\},$ если $x_{k-1}\ne0,$ где $\{x\}$ обозначает дробную часть $x.$ (Дробная часть числа $x$ определяется как $x-\lfloor{x}\rfloor,$ где $\lfloor{x}\rfloor$ --- наибольшее целое число меньшее или равное $x$.) Найдите все $x_0,$ удовлетворяющие неравенствам $0 < x_0 < 1,$ для которых члены последовательности $x_0, x_1, x_2, \ldots$ начиная с некоторого номера становятся равными $0.$ | |
Определите (с доказательством) существует ли подмножество $X$ множества целых чисел, имеющее следующее свойство: для любого целого числа $n$ найдется ровно одно решение уравнения $a + 2b = n$ такое, что $a,b \in X$. | |
В $n$-элементной последовательности $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ каждый элемент равен 0 или 1. Назовем такую последовательность бинарной последовательностью длины $n$. Пусть $a_n$ равно равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих трёх последовательных членов равных 0, 1, 0 (в этом порядке). Пусть $b_n$ равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих четырёх последовательных членов равных 0, 0, 1, 1 или 1, 1, 0, 0 (в этом порядке). Докажите, что $b_{n+1} = 2a_n$ для всех положительных целых чисел $n.$ | |
Для непустого множества действительных чисел $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S$. Дано множество $A,$ состоящее из $n$ положительных целых чисел. Рассмотрим набор всех различных $\sigma(S),$ получающихся при их вычислении для всех $S,$ являющихся непустыми подмножествами $A$. Докажите, что этот набор сумм может быть разбит на $n$ классов так, что в каждом классе отношение большей суммы к меньшей не превосходит 2. | |
Последовательность $q_1,q_2,\ldots,$ состоящая из целых чисел, удовлетворяет двум условиям: (a) $m - n$ делит $q_m - q_n$ при $m>n \geq 0$ (b) Существует многочлен $P$ такой, что $|q_n| < P(n)$ для всех $n.$ Докажите, что существует многочлен $Q$ такой, что $q_n = Q(n)$ для всех $n.$ | |
Пусть $p$ --- нечётное простое число. О последовательности $(a_n)_{n \geq 0}$ известно, что $a_0 = 0,$ $a_1 = 1,$ \ldots, $a_{p-2} = p-2$ и что, для всех $n \geq p-1,$ $a_n$ --- наименьшее положительное целое число, не образующее арифметическую прогрессию длины $p$ с любыми предыдущими членами последовательности. Докажите, что, для всех $n,$ $a_n$ --- число, получаемое при записи $n$ в системе счисления с основанием $p-1$ и чтением результата в системе счисления с основанием $p.$ | |
Пусть $|U|, \sigma(U)$ и $\pi(U)$ обозначают соответственно количество, сумму и произведение элементов конечного множества положительных целых чисел $U.$ (Если $U$ является пустым множеством, то считаем что $|U| = 0, \sigma(U) = 0, \pi(U) = 1.$) Пусть $S$ --- конечное множество положительных целых чисел. Как обычно, пусть $C_n^k$ обозначает $\frac{n!}{k! \, (n-k)!}.$ Докажите, что $\sum_{U \subseteq S} (-1)^{|U|} C_{m - \sigma(U)}^{|S|} = \pi(S)$ для всех целых чисел $m \geq \sigma(S).$ | |
Пусть $k_1 < k_2 < k_3 < \cdots$ --- положительные целые числа, никакие два из которых не являются последовательными, и пусть $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ для $m = 1, 2, 3, \ldots$. Докажите, что, для всех положительных целых чисел $n,$ интервал $[s_n, s_{n+1}),$ содержит по крайней мере один квадрат целого числа. | |
Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется $\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$ | |
Пусть $a$ и $b$ --- нечетные положительные целые числа. Определим последовательность $(f_n)$, полагая, что $f_1 = a$, $f_2 = b$, а $f_n$ для $n\ge3$ --- наибольший нечетный делитель $f_{n-1} + f_{n-2}$. Покажите, что значение $f_n$ равно некоторой константе при достаточно больших $n$ и найдите эту константу как функцию от $a$ и $b$. | |
Для каждого целого числа $n\ge 2$, определите (с доказательством) какое из двух положительных действительных чисел $a$ и $b$ больше, если для них выполняется: $a^n=a+1,\qquad b^{2n}=b+3a.$ | |
Для непустого числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S.$ Известно, что $A = \{a_1, a_2, \ldots, a_{11}\}$ состоит из положительных целых чисел и $a_1 < a_2 < \cdots < a_{11}$ и что, для всех положительных чисел $n \le 1500$, существует подмножество $S$ множества $A$, для которого $\sigma(S) = n.$ Чему равно наименьшее возможное значение $a_{10}?$ | |
Найдите, как функцию от $n,$ сумму цифр значения выражения $9 \times 99 \times 9999 \times \cdots \times \left( 10^{2^n} - 1 \right),$ где каждый множитель, начиная со второго слева, имеет в два раза больше цифр, чем предыдущий. | |
Числа $-1011,$ $-1010,$ ..., $-1,$ $1,$ $2,$ ..., $1010,$ $1011$ образуют в некотором прядке последовательность $a_1,$ $a_2,$ ..., $a_{2022}.$ Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a_1| + |a_1 + a_2| + |a_1 + a_2 + a_3| + ... + |a_1 + a_2 + ... + a_{2022}|.$ |  |
В клетки таблицы размера $2022 \times 2022$ записаны натуральные числа от 1 до $2022^2,$ в каждой клетке --- ровно одно число, все числа использованы по разу. Для каждой строки Влад выписал себе по одному числу, являющемуся вторым по убыванию в этой строке. А Дима проделал то же для каждого столбца. Оказалось, что мальчики выписали 4044 попарно различных числа и найдутся $k$ чисел, выписанных Владом, каждое из которых меньше любого числа, выписанного Димой. Найдите наибольшее возможное значение числа $k.$ | |
Дана последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, ...,$ члены которой при каждом натуральном $i \ge 3$ удовлетворяют равенству \[ a_{i+1} = a_i + \text{НОД}(a_{i-1}, a_{i-2}). \] Докажите, что существуют такие натуральные числа $N$ и $M,$ для которых при всех $n \ge N$ верно равенство $a_{n+1} - a_n = M.$ | |
Дана последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ натуральных чисел. Для каждого $\ell$ от 1 до $n - 1$ нашли следующие наборы: $(\text{НОД}(a_1, a_{1+\ell}), \text{НОД}(a_2, a_{2+\ell}), ..., \text{НОД}(a_n, a_{n+\ell})),$ где все индексы берутся по модулю $n,$ т.е. если $s > n,$ то $a_s = a_{s-n}.$ Оказалось, что все найденные наборы состоят из одних и тех же $n$ попарно различных чисел и различаются, возможно, порядком их следования. Выясните, может ли $n$ быть равно а) 21; б) 2021. | |
Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-a,$ где $a$ --- натуральное число. Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно наибольшему чётному числу, а количество чётных --- наибольшему нечётному числу. а) Найдите наименьшее возможное значение $n$ при всех $a.$ б) Для каждого $a \ge 2$ найдите наибольшее возможное значение $n.$ | |
