Непересекающиеся множества

[wpoms.]

Предположим, что множество $\{1,2,\cdots, 1998\}$ может быть разбито на непересекающиеся множества $\{a_i,b_i\}$ ($1\leq i\leq 999$) так, что для всех $i$ значение выражения $|a_i-b_i|$ равно 1 или 6. Докажите, что сумма $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots +|a_{999}-b_{999}|$ оканчивается цифрой 9.

@темы: Теория чисел

---

Путин и советники на доверии

[Холщовый мешок]

www.rbc.ru/society/06/02/2025/67a4d05b9a7947402...

Президент также выступил за комплексное обновление программ по математике и естественным наукам в школах, поручив «сбалансировать объем учебного материала, сделать его доступным, понятным и, что самое главное, интересным для школьника».

Есть ли сейчас новые, достойные, интересные для школьника пособия, в которых отсутствуют рекомендации использовать при решении задач недоказанные теоремы?

Примерная цитата из пособия Волчкевича: Утверждение, обратное к доказанному свойству, тоже верно, мамой клянусь, и его называют признаком четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Дабы избежать оффтопика

30. Две медианы треугольника перпендикулярны друг другу. Докажите, что для его сторон $a,$ $b$ и $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = 5c^2.$

---

Фалин

[Холщовый мешок]

pk.math.msu.ru/sites/default/files/documents/Fo...

Фалин Г.И. Вступительное испытание по математике в МГУ: Учебное пособие. ― 2-е изд., перераб. и доп. – М.: 2024. – 301 с., ил.

Книга содержит варианты дополнительных вступительных испытаний по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова с 2011 по 2023 гг. с подробными решениями и комментариями для одного варианта каждого года. Она может быть использована абитуриентами для повторения математики и ознакомления с форматом экзамена и типами задач.

---

Про числа

[wpoms.]

Пусть последовательность неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_{1997}$ удовлетворяет неравенствам $a_i+a_j \le a_{i+j} \le a_i+a_j+1$ для всех $i, j \ge 1,$ где $i+j \le 1997.$ Покажите, что существует действительное число $x$ такое, что $a_n=\lfloor{nx}\rfloor$ (наибольшее целое число $\le nx$) для всех $1 \le n \le 1997$.

---

[Холщовый мешок]

Рассмотрим алфавит, состоящий из $n$ разных букв. Мы хотим образовать слово, отвечающее следующим двум условиям:

a) В нем не может быть двух последовательных одинаковых букв.
b) Никакое подслово длины 4 не имеет вида $XYXY$ с $X \neq Y$ (т. е. одни и те же две буквы не могут повторяться попеременно).

Для каждого $n$ определите максимально возможную длину слова, удовлетворяющего этим условиям.

Пояснение: Подслово слова $P$ — это последовательность букв, которые встречаются в $P,$ в том же порядке, в котором они появляются в $P,$ но не обязательно последовательно. Например, $EDDC$ является подсловом $TEADDVCB.$

---

[Холщовый мешок]

Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $mcd(a, b) = 1$ и $a^2 + ab + b^2 = 7^n.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть $ABCDE$ --- правильный пятиугольник. Пусть $J$ и $K$ --- эксцентры треугольника $ACE$, противоположные вершинам $A$ и $C,$ соответственно. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P,$ отрезки $CE$ и $BD$ пересекаются в точке $Q,$ а отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $R.$

а) Докажите, что $PJ$ перпендикулярен $CE.$
б) Докажите, что прямая $KR$ проходит через центр описанной окружности $CQD.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть \[ x = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{4^4} + ... + \dfrac{1}{2024^{2024}}.\] Найдите натуральное число $n$ такое, что \[n \le 3x < n + 1.\]

---

[Холщовый мешок]

Дан треугольник $ABC$, на сторонах $AC$ и $AB$ выбраны соответственно точки $Y$ и $Z,$ такие, что $AY + AZ = BC.$ Допустим, что внутри треугольника $AZY$ есть точка $X$ такая, что $2\angle AZX = \angle ACB$ и $2\angle AYX = \angle ABC.$ Докажите, что длина $AX$ больше или равна длине радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ --- функция, заданная выражением \[f(x) = \begin{cases}3x, \text{ если }\ x < \frac13,\\ 3x-1, \text{если}\ \frac13 \le x < \frac23,\\ 3x-2, \text{если}\ \frac23 \le x.\end{cases}\]

Найдите все действительные числа $x,$ удовлетворяющие равенству $f(f(f(f(x)))) = x.$

---

[Холщовый мешок]

Есть пять различных цифр. Наименьшее пятизначное натуральное число, которое можно составить из этих цифр, не повторяя ни одной, кратно 11, а самое большое натуральное число, которое можно составить из тех же цифр, не кратно 11. Определите наибольшее возможное значение суммы этих пяти цифр.

Примечание: Имейте в виду, что натуральное число не может начинаться с цифры 0.

---

[Холщовый мешок]

Ио ездит на работу на такси. Стоимость поездки составляет 20, 21, 22, 23, 24 или 25 рублей. У Ио есть только монеты достоинством 2 и 5 рублей. Какое наименьшее количество монет ему следует иметь при себе, чтобы он мог оплатить поездку без сдачи?

---

[Холщовый мешок]

Фигура кондор — это фигура, которая делает ход следующими способами: 3 клетки по прямой в горизонтальном направлении и 1 клетка в вертикальном направлении или 3 клетки по вертикали и 1 клетка в горизонтальном направлении или 2 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали.

Определите максимальное количество кондоров, которое можно разместить на доске 9x9 так, чтобы ни один из них не бил другого.

---

[Холщовый мешок]

Для каждого натурального числа $n \ge 2$, делители которого равны $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n,$ определим \[f(n) = (d_1 + d_2)(d_2 + d_3) ... (d_{k-1} + d_k).\] Например, делители числа 6, упорядоченные по возрастанию, равны $d_1 = 1,$ $d_2 = 2,$ $d_3 = 3,$ $d_4 = 6,$ тогда $f(6) = (1+2) (2+3) (3+6) = 135.$

a) Определите все натуральные числа $n \ge 2$ такие, что $f(n)$ является степенью 3.
b) Докажите, что не существует натурального числа $n \ge 2$ такого, что $f(n)$ является степенью 21.

---

[Холщовый мешок]

Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что точки $A,$ $D,$ $E,$ $C$ располагаются в указанном порядке. Пусть $P,$ $Q$ и $R$ --- середины отрезков $AB,$ $DE$ и $CB,$ соответственно. Вычислите величину $\angle PQR$, если известно, что $\angle DBE = 60^\circ,$ $AD = BE$, $EC = DB.$

---

[Холщовый мешок]

На рисунке изображен равносторонний треугольник со стороной 3 см, разделенный на девять равносторонних треугольников со стороной 1 см. Внутри каждого из этих девяти треугольников записано натуральное число, при этом, все числа различны и произведение четырех чисел в любом равностороннем треугольнике со стороной 2 см одинаково.

Возможно ли, что наибольшее из девяти чисел равно 14?

---

Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a, b, c,$ $(a^3+b^3+abc)^{-1} + (b^3+c^3+abc)^{-1} + (a^3+c^3+abc)^{-1} \le (abc)^{-1}.$

@темы: Доказательство неравенств

---

Минобрнауки изменило порядок поступления в вузы и правила целевого набора

[All_ex]

Минобрнауки опубликовало правила приема на обучение в вузах до 2029 года и скорректировало процедуру приема на целевой набор. В вузах назвали некоторые решения спорными из-за «нервного лета» для абитуриентов.

читать дальше...

Единые даты зачисления
Министерство науки и высшего образования утвердило новый порядок приема в вузы на программы бакалавриата, специалитета и магистратуры. Документ опубликован на интернет-портале правовой информации. Он будет действовать с 1 марта 2025-го до 1 сентября 2029 года.

продолжение по ссылке...

@темы: Образование, Новости

---

Кружок

[Холщовый мешок]

Задача 12э.6.
а) Нарисуйте квадрат c вершинами в узлах сетки и отрежьте от него 4/5 площади так, чтобы получился квадрат c вершинами в узлах сетки. б) То же, но для 7/11 площади.

t.me/vmsh_179_5_7_2024/393?comment=3987

---

[Холщовый мешок]