[Холщовый мешок]

а) Решите уравнение $$2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}2; -2\pi \right].$

а) Решите уравнение $$2\cos x + \sin^2 x = 2 \cos^3 x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}2; -3\pi \right].$

а) Решите уравнение $$\sin^2 (x + \pi) - \cos \left(-\dfrac{3\pi}2 - x\right) = 0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}2; -2\pi \right].$

а) Решите уравнение $$\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(\dfrac{3\pi}2 + x \right) = 0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}2\right].$

В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость $\alpha$ выходит из вершины $B_1$ и $D,$ пересекает стороны $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно и является ромбом.
а) Докажите, что $M$ – середина ребра $AA1.$
б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.

В прямоугольном параллелепипеде $ACBDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 3,$ $AD = 4,$ $AA_1 = 6.$ Через точки $B_1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K.$
а) Докажите, что $K$ – середина $CC_1.$
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Решите неравенство $$\log_{11} (2x^2 + 1) + \log_{11} \left(\frac1{32x}+1\right) > \log_{11} \left(\frac{x}{16}+1\right).$$

Решите неравенство $$\log_3 \left(\frac1{x}-1\right) + \log_3 \left(\frac1{x} + 1\right) \le \log_3 (8x - 1).$$

Вадим владеет двумя заводами в разных городах. За $t^2$ часов изготавливается $t$ товаров. Рабочие первого завода получают 200 рублей в час, рабочие второго – 300 рублей в час. Недельный бюджет Вадима на оплату труда рабочих – 1200000 рублей. Какое максимальное количество товаров смогут произвести оба завода за одну неделю?

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ В нём высоты $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H.$
а) Докажите, что $\angle BAH = \angle BB_1C_1.$
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до $BC,$ если $B_1C_1 = 18,$ а $\angle BAC = 30^\circ.$

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ В нём высоты $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H.$
а) Докажите, что $\angle AHB_1 = \angle ACB.$
б) Найдите $BC,$ если $AH = 8\sqrt3$ и $\angle BAC = 60^\circ.$

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a + 1)x + a}$$ имеет один корень на отрезке $[0; 1].$

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{3x^2 - (3a + 1)x + a}$$ имеет один корень на отрезке $[0; 1].$

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение $$x^2 - (x - 1)\sqrt{3x - a} = x$$ имеет один корень на отрезке $[0; 1].$

Из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9 составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное. Известно, что они оба кратны 45.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205?
б) Может ли сумма этих чисел равна 3435?
в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

@темы: ЕГЭ

---

про системы счисления

[wpoms.]

Пусть $p$ --- нечётное простое число. О последовательности $(a_n)_{n \geq 0}$ известно, что $a_0 = 0,$ $a_1 = 1,$ \ldots, $a_{p-2} = p-2$ и что, для всех $n \geq p-1,$ $a_n$ --- наименьшее положительное целое число, не образующее арифметическую прогрессию длины $p$ с любыми предыдущими членами последовательности. Докажите, что, для всех $n,$ $a_n$ --- число, получаемое при записи $n$ в системе счисления с основанием $p-1$ и чтением результата в системе счисления с основанием $p.$

@темы: Теория чисел

---

Триголятор

[wpoms.]

У триголятора есть только кнопки $\sin,$ $\cos,$ $\tan,$ $\sin^{-1},$ $\cos^{-1},$ и $\tan^{-1}.$ На дисплее изначально отображается число 0. Дано положительное рациональное число $q.$ Покажите, что с помощью конечного количества нажатий на кнопки можно получить $q$ на дисплее. Предполагается, что все вычисления выполняются точно и все функции вычисляются для аргументов, выраженных в радианах.

@темы: Тригонометрия

---

Связь между параметрами множества

[wpoms.]

Пусть $|U|, \sigma(U)$ и $\pi(U)$ обозначают соответственно количество, сумму и произведение элементов конечного множества положительных целых чисел $U.$ (Если $U$ является пустым множеством, то считаем что $|U| = 0, \sigma(U) = 0, \pi(U) = 1.$) Пусть $S$ --- конечное множество положительных целых чисел. Как обычно, пусть $C_n^k$ обозначает $\frac{n!}{k! \, (n-k)!}.$ Докажите, что $\sum_{U \subseteq S} (-1)^{|U|} C_{m - \sigma(U)}^{|S|} = \pi(S)$ для всех целых чисел $m \geq \sigma(S).$

@темы: Дискретная математика, Теория чисел

---

Неравенство

[wpoms.]

Последовательность положительных действительных чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots$ удовлетворяет неравенству $\sum_{j = 1}^n a_j \geq \sqrt {n}$ для всех $n \geq 1.$ Докажите, что для всех $n \geq 1$ $\sum_{j = 1}^n a_j^2 > \frac {1}{4} \left( 1 + \frac {1}{2} + \cdots + \frac {1}{n} \right).$

@темы: Доказательство неравенств

---

НОВАЯ СИСТЕМА ПРИЁМА В ВУЗЫ...

[All_ex]

... НА ОСНОВЕ ЗНАМЕТНИТОЙ ТЕОРЕМЫ ГЕЙЛА И ШЕПЛИ! РИСКИ И ВОЗМОЖНОСТИ!



товарищи решили внедрить алгоритмы теории игр в систему поступления в вузы... и вроде должно вступить в силу в этом году...
рассказывают интересно, но понимается далеко не сразу...

но после слов "про слухи" вспомнилась шутка от одесских квнщиков 88 года...
- говорят в вузы принимают по новому...
- говорят по новому... принимают по старому...

@темы: Образование

---

Вписанный шестиугольник

[wpoms.]

Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность, $AB=CD=EF,$ диагонали $AD,BE$ и $CF$ проходят через одну точку. Пусть $P$ --- точка пересечения $AD$ и $CE.$ Докажите, что $\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.$

@темы: Планиметрия

---

Учебники

[Холщовый мешок]

Смирнова И. М. Геометрия. 7 класс : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 8 класс : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 7-9 классы : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 классы : учебник для общеобразовательных организаций (базовый уровень)
Смирнова И. М. Геометрия. 10 класс : учебник для общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровни)
Смирнова И. М. Геометрия. 11 класс : учебник для общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровни)

mnemozina.ru

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Раскраска

[wpoms.]

Стороны $99$-угольника сначала покрасили так, что последовательные стороны окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, синий, желтый цвет. Выполняется последовательность изменения цвета сторон, по одной стороне за раз. Стороны окрашиваются в красный, синий или желтый цвет при условии, что никакие две смежные стороны не будут иметь одинаковый цвет. Может ли после выполнения подобных перекрашиваний получиться так, что последовательные стороны будут окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, желтый, синий цвет?

@темы: Дискретная математика

---

Moscow

[Холщовый мешок]

Four spheres of radius 1 are mutually tangent. What is the radius of the smallest sphere
containing them?

www.ruf.rice.edu/~eulers/

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Юбилей

[Холщовый мешок]

Завершилась 20 Жаутыковская олимпиада.
izho.kz

1 In an alphabet of $n$ letters, is $syllable$ is any ordered pair of two (not necessarily distinct) letters. Some syllables are considered $indecent$. A $word$ is any sequence, finite or infinite, of letters, that does not contain indecent syllables. Find the least possible number of indecent syllables for which infinite words do not exist.

2 Circles $\Omega$ and $\Gamma$ meet at points $A$ and $B$. The line containing their centres intersects $\Omega$ and $\Gamma$ at point $P$ and $Q$, respectively, such that these points lie on same side of the line $AB$ and point $Q$ is closer to $AB$ than point $P$. The circle $\delta$ lies on the same side of the line $AB$ as $P$ and $Q$, touches the segment $AB$ at point $D$ and touches $\Gamma$ at point $T$. The line $PD$ meets $\delta$ and $\Omega$ again at points $K$ and $L$, respectively. Prove that $\angle QTK=\angle DTL$

3 Positive integer $d$ is not perfect square. For each positive integer $n$, let $s(n)$ denote the number of digits $1$ among the first $n$ digits in the binary representation of $\sqrt{d}$ (including the digits before the point). Prove that there exists an integer $A$ such that $s(n)>\sqrt{2n}-2$ for all integers $n\ge A$

4 Ten distinct positive real numbers are given and the sum of each pair is written (So 45 sums). Between these sums there are 5 equal numbers. If we calculate product of each pair, find the biggest number $k$ such that there may be $k$ equal numbers between them.

5 We are given $m\times n$ table tiled with $3\times 1$ stripes and we are given that $6 | mn$. Prove that there exists a tiling of the table with $2\times 1$ dominoes such that each of these stripes contains one whole domino.

6 Let $G$ be the centroid of triangle $ABC$. Find the biggest $\alpha$ such that there exists a triangle for which there are at least three angles among $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ which are $\geq \alpha$.

artofproblemsolving.com/community/c3719964_2024...

Задача №1. Алфавит состоит из $n$ букв. Слогом назовём любую упорядоченную пару, состоящую из двух не обязательно различных букв. Некоторые слоги считаются неприличными. Словом является любая (конечная или бесконечная) последовательность букв, в которой нет неприличных слогов. Найдите наименьшее возможное количество неприличных слогов, при котором не существует бесконечных слов. ( М. Карпук )

Задача №2. Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )

Задача №3. Натуральное число $d$ не является точным квадратом. Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ количество единиц среди первых $n$ цифр двоичной записи числа $\sqrt d$ (цифры до запятой тоже учитываются). Докажите, что существует такое натуральное $A$, что при всех натуральных $n\geqslant A$ выполнено неравенство $s(n)>\sqrt{2n}-2$. ( Navid Safaei )

Задача №4. Учитель выдал детям 10 различных положительных чисел. Серёжа вычислил все 45 их попарных сумм; среди них нашлось пять равных чисел. Петя вычислил все 45 их попарных произведений. Какое наибольшее количество из них могли оказаться равными? ( И. Богданов )

Задача №5. Дана таблица ${m\times n}$, где $mn$ делится на $6$. В этой таблице полоской назовём любой прямоугольник ${1\times 3}$ или ${3\times 1}$, а доминошкой -- любой прямоугольник ${1\times 2}$ или ${2\times 1}$. Таблицу замостили полосками. Докажите, что поверх этого замощения таблицу можно замостить доминошками так, что в каждой полоске две клетки будут накрыты одной доминошкой и ещё одна -- другой. (При замощении прямоугольники покрывают всю таблицу и не перекрываются между собой.) ( М. Карпук )

Задача №6. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $G$. Среди шести углов $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ есть не менее трёх, каждый из которых не меньше $\alpha$. При каком наибольшем $\alpha$ это могло произойти? ( Н. Седракян, И. Богданов )

www.matol.kz/olympiads/1109

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

про интервалы

[wpoms.]

Пусть $k_1 < k_2 < k_3 < \cdots$ --- положительные целые числа, никакие два из которых не являются последовательными, и пусть $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ для $m = 1, 2, 3, \ldots$. Докажите, что, для всех положительных целых чисел $n,$ интервал $[s_n, s_{n+1}),$ содержит по крайней мере один квадрат целого числа.

@темы: Теория чисел

---

Пояснение

[Холщовый мешок]

На картинке фотография, сделанная Спиритом на Марсе, рядом с фотографией пустыни в Марокко.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Эпидемия продолжается

[Холщовый мешок]

В ноябре 2022 года состоялась первая эфиопская математическая олимпиада.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Холщовый мешок]

Возможность использования калькулятора исключена из правил основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике в 2024 году. Об этом сообщили журналистам в пресс-службе Рособрнадзора.
tass.ru/obschestvo/19654179

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Задачи на круговое движение

[daffodils&dandelions]

Помогите, пожалуйста, решить задачки на круговое движение:
1. Три бегуна стартую одновременно из трёх точек круговой беговой дорожки, являющихся вершинами правильного треугольника, и бегут в одном направлении. Первый бегун обгоняет второго через 4 мин после старта, а третьего – через 5 мин после старта. Известно, что третий бегун бежит быстрее второго. Через сколько минут после старта третий бегун нагонит второго?
2. Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, а второй из точки В – и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их 15 встреч на трассе после старта только третья и пятнадцатая состоялись в точке В. Найти отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не меньше одного круга.
3. Два спортсмена стартуют одновременно из одной и той же точки кольцевой дорожки стадиона и движутся в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что к моменту их шестой встречи первый спортсмен проехал расстояние на 1200 м большее, чем второй. Если бы второй спортсмен увеличил скорость своего движения в два раза, то к моменту шестой встречи первый спортсмен проехал бы расстояние на 480 м большее, чем второй. Определить длину дорожки стадиона. 
4. Два бегуна одновременно стартуют из одной точки кольцевой дорожки на дистанцию 50 кругов и бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Через некоторое время выяснилось, что первый бегун обгоняет второго каждые 4 мин. Пробежав полные 45 кругов первый бегун упал и 1 мин 40 с оправлялся от травмы. Однако потом он всё же продолжил бег, правда со скоростью в четыре раза меньшей, чем первоначально, и закончил дистанцию одновременно со вторым бегуном. За сколько минут пробегают круг первый и второй бегуны? 
Срок:  10.01.24
Класс: 11
Совсем нет идей, как к ним подступиться, но научиться решать очень хочется...
Всем приложившим ум к задачкам заранее огромное спасибо!

@темы: Текстовые задачи

---

Неравенство

[wpoms.]

Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется $\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$

@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

---

Бесполезное

[Холщовый мешок]

Колесников Е.А. Задачи Ферми, книги Перельмана, Алкуин из Йорка и другие способы обсчитать этот мир
СПБ.: Реноме, 2023. — 264 с.: ил. — ISBN 978-5-00125-552-9.

В книге рассмотрен феномен задач Ферми – задач, где недостаточные исходные данные предполагают приблизительный ответ. Например: Сколько настройщиков пианино в Чикаго? Сколько таксистов в Бостоне? Сколько кошек в Саратове? Сколько весит этаж небоскреба? Сколько в среднем стирается резины при одном обороте колеса? Сколько пылесосов производится в год? – и другие.
В круг интересов автора входят работы Я. И. Перельмана, написавшего огромное количество книг с задачами, расчетами и головоломками, а также 53 задачи для развития молодых умов саксонского учёного, богослова и поэта Алкуина, которые на русском языке приводятся, возможно, впервые.
Издание является частью проекта Botan.us и снабжено обширной библиографией, отображающей публикации XX-XXI веков, посвященные решениям нестандартных задач и различным расчетам. Приводятся ссылки на описания интересных моментов в рассматриваемых книгах. Предпочтения отдаются в соответствии с принципом de visu, что в переводе с ученой латыни означает, что работа ведется с книгами, которые автор видел своими собственными глазами и держал в своих руках.

botan.wiki/File/Kolesnikov2023.pdf

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

1.1 Таблица

[Холщовый мешок]

В каждой клетке таблицы размером 5 × 5 написано число 1 или число 2.
Может ли быть так, что сумма чисел в каждой строке кратна 2, а сумма чисел в каждом столбце кратна 3?
Может ли быть так, что сумма чисел в каждой строке кратна 3, а сумма чисел в каждом столбце кратна 4?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Холщовый мешок]

Казимиров Н. И., Савватеев А. В. Введение в настоящую математику: пособие для учителей математики по мотивам курса «100 уроков математики» Алексея Савватеева. — М.: Русский фонд содействия образованию и науке. Университет Дмитрия Пожарского, 2022. — 406 с.

Издание представляет собой развернутый и доработанный конспект лекций видеокурса «100 уроков математики» Алексея Савватеева, который был прочитан в Филипповской школе (Москва) в 2014–2018 гг.
В книге на разном уровне строгости и сложности излагается концепция числа. Начиная с простых геометрических образов, описывающих обычные арифметические действия, и заканчивая сложными алгебраическими понятиями, авторы знакомят читателя с началами теории чисел, теории групп, линейной алгебры и комплeксного анализа.
Основное внимание в книге уделено следующим темам: движения и подобия прямой и плоскости, линейные уравнения в целых числах, арифметика остатков, кольцо многочленов, группа перестановок, комплeксные числа, модели действительных чисел, теория пределов. В книге разбирается ряд известных математических фактов: Основная теорема арифметики, теорема Шаля, теорема Ферма при n = 4, неразрешимость задачи об удвоении куба, формула Эйлера, теорема Кантора.
Особое внимание в книге уделяется теоретико-групповому подходу к описанию математических концепций, подробно разбирается структура группы перестановок и связанные с этим задачи. Кроме того, достаточно подробно изучается аксиома полноты (принцип непрерывности) действительных чисел, а также производится построение вещественной и комплeксной экспоненты.
Книга снабжена большим количеством вспомогательных чертежей и иллюстраций (более 100), а также задачами различной степени сложности для самостоятельного решения (более 800).
Содержание охватывает такие темы, как: геометрия, линейная алгебра, движения, теория групп, комплексные числа, математический анализ, многочлены, кольцо гауссовых чисел.

vk.com/teacher_s_book?w=wall-90389798_58531

@темы: Головоломки и занимательные задачи