среда, 27 декабря 2023
22:26

Задачи на круговое движение

все записи пользователя в сообществе daffodils&dandelions

Помогите, пожалуйста, решить задачки на круговое движение:
1. Три бегуна стартую одновременно из трёх точек круговой беговой дорожки, являющихся вершинами правильного треугольника, и бегут в одном направлении. Первый бегун обгоняет второго через 4 мин после старта, а третьего – через 5 мин после старта. Известно, что третий бегун бежит быстрее второго. Через сколько минут после старта третий бегун нагонит второго?
2. Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, а второй из точки В – и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их 15 встреч на трассе после старта только третья и пятнадцатая состоялись в точке В. Найти отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не меньше одного круга.
3. Два спортсмена стартуют одновременно из одной и той же точки кольцевой дорожки стадиона и движутся в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что к моменту их шестой встречи первый спортсмен проехал расстояние на 1200 м большее, чем второй. Если бы второй спортсмен увеличил скорость своего движения в два раза, то к моменту шестой встречи первый спортсмен проехал бы расстояние на 480 м большее, чем второй. Определить длину дорожки стадиона. 
4. Два бегуна одновременно стартуют из одной точки кольцевой дорожки на дистанцию 50 кругов и бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Через некоторое время выяснилось, что первый бегун обгоняет второго каждые 4 мин. Пробежав полные 45 кругов первый бегун упал и 1 мин 40 с оправлялся от травмы. Однако потом он всё же продолжил бег, правда со скоростью в четыре раза меньшей, чем первоначально, и закончил дистанцию одновременно со вторым бегуном. За сколько минут пробегают круг первый и второй бегуны? 
Срок:  10.01.24
Класс: 11
Совсем нет идей, как к ним подступиться, но научиться решать очень хочется...
Всем приложившим ум к задачкам заранее огромное спасибо!



@темы: Текстовые задачи

URL
Комментарии
27.12.2023 в 23:45

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
первая совсем простая...
рассматриваете угловые скорости (градусы/мин)... и получаете систему
`(omega_1 - omega_2)*4 = 120`
`(omega_1 - omega_3)*5 = 240`
`(omega_3 - omega_2)*T = 120`
из первых двух уравнений находите разность скоростей третьего и второго... из третьего уравнения искомое время...
URL
28.12.2023 в 00:08

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
третья тоже решается в лоб....
если `x,y` - скорости первого и второго, `S` - длина круга, `t` - время до первой встречи...
то `(x+y)*t=S` и `(x-y)*(6*t)=1200`... откуда `200*(x+y)/(x-y) = S` ...

аналогично для увеличенной скорости второго...
`(x+2y)*T=S` и `(x-2*y)*(6*T)=480`... откуда `80*(x+2*y)/(x-2*y) = S` ...

приравниваете и получаете уравнение, из которого находите отношение скоростей `x/y`... затем находите длину дорожки...
URL
28.12.2023 в 00:12

daffodils&dandelions
All_ex, спасибо за ответ! Я думала про аналогичный вариант решения первой задачки, но меня немного смущает то, что разность скоростей третьего и второго получается отрицательным числом, а по условию говорится, что третий бегун бежит быстрее второго...
URL
28.12.2023 в 00:29

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
в четвёртой тоже всё типично...
рассматриваем скорости первого и второго `x > y`...
длина круга равна `S`... хотя можно считать, что `S=4` у.е. длины... тогда поменяются только единицы измерения скорости (уе/мин)...

пусть `t` и `T` - время на круг первого и второго....
тогда `x*t=4`, `y*T=4`... общее время второго `50*T`... а первого `45*t + 5/3 + (4*t)*5 = 65*t + 5/3`...
общее время одинаково, поэтому `50*T = 65*t + 5/3`...

первый догонял второго каждые 4 мин, следовательно, `(x-y)*4=4`... или `x-y=1`... или `4/t - 4/T = 1`...

дальше решаете систему из двух полученных уравнений ...
URL
28.12.2023 в 00:34

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
daffodils&dandelions, разность скоростей третьего и второго получается отрицательным числом
вероятно косяк в условии... пока другого объяснения не вижу...
URL
28.12.2023 в 00:37

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
хотя тут хитрость в нумерации... и надо рассматривать второй вариант...
то есть бегут они против часовой... а нумеруют их по часовой...
тогда система будет иметь вид
`(omega_1 - omega_2)*4 = 240`
`(omega_1 - omega_3)*5 = 120`
`(omega_3 - omega_2)*T = 120`
:alles:
URL
28.12.2023 в 01:00

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
вторая задача похитрее...
порешаю её позже... :sleepy: :zzz:
URL
28.12.2023 в 01:07

daffodils&dandelions
All_ex, спасибо Вам большое! Очень помогли разобраться в 1, 3 и 4 задачках!
URL
03.01.2024 в 11:35

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
в общем идея второй задачи такая...
пусть длина круга равна 12 уе... скорости велосипедистов, выехавших из А и В навстречу друг другу, равны `a` и `b` соответственно... пусть первая встреча произошла в точке С на расстоянии `2c` от В...
дальше два варианта...

1) вторая встреча произошла посредине ВС... тогда третья встреча будет в В... таким образом, точка каждой следующей встречи также двигается по окружности на `c`... следовательно, `12*c = 12`... но тогда велосипедист А не сможет проехать полный круг к пятой встрече...

2) вторая встреча произошла не дополнении дуги АВ... третья в В... тогда каждая нечётная встреча сдвигается на `2*c`... таких встреч шесть, следовательно, опять же `12*c = 12`...
дальше считаем скорости (время между встречами, начиная со второй, можно считать 1)... и находим ответ...
URL
11.01.2024 в 18:52

daffodils&dandelions
All_ex, большое Вам спасибо, все поняла!)
URL
11.01.2024 в 20:11

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
daffodils&dandelions, и снова welcome... :alles:
URL