Uno momento

[wpoms.]

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA'B'C'D',$ где $ABCD$ - нижняя грань, вершины которой обозначены буквами A, B, C, D, написанными по часовой стрелке, $A, B, C$ и $D$ расположены под $ A' , B ', C'$ и $ D'$ соответственно. Параллелепипед разделен на восемь частей тремя плоскостями, ортогональными друг другу и параллельными граням параллелепипеда. Для каждой вершины $P$ параллелепипеда обозначим как $V_P$ объем части параллелепипеда, содержащей $P.$ Зная, что $V_A = 40,$ $V_C = 300,$ $V_ {B '} = 360 $ и $V_ {C '} = 90,$ определите объем параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'.$

@темы: Стереометрия

---

Равенство отрезков

[wpoms.]

Окружности $C_1$ и $C_2$ касаются внешним образом в точке $S$ и радиус $C_2$ в три раза больше радиуса $C_1.$ Пусть прямая $l$ касается $C_1$ в точке $P$ и касается $C_2$ в точке $Q,$ точки $P$ и $Q$ отличны от $S.$ Точка $T$ лежит на $C_2$ и $TQ$ --- диаметр $C_2$, точка $R$ лежит на биссектрисе угла $\angle SQT$ и на отрезке $ST.$ Докажите, что $QR = RT.$

@темы: Планиметрия

---

Такой народ

[Крстбл ХХ]

Все знают, что при пересечении границ личного пространства московского матшкольника многое становится

@темы: Образование

---

А сегодня праздник...

[All_ex]

@темы: Про самолеты, Праздники

---

Что-то про треугольник

[wpoms.]

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $E$ так, что $AC = EC.$ На прямой, проходящей через $C$ параллельно $AE$, взята точка $F$ такая, что `/_ BAE = /_ EAF.` Докажите, что прямая $EF$ пересекает отрезок $AB$ в его середине.

@темы: Планиметрия

---

тригонометрия?

[вейко]

это как так?

---

RMM 2020, P4

[wpoms.]

Пусть $\mathbb N$ обозначает множество всех положительных целых чисел. Скажем, что подмножество $A$ множества $\mathbb N$ является свободным от сумм, если для любых элементов $x$ и $y$ (не обязательно различных) множества $A$ их сумма $x+y$ не принадлежит $A.$ Найдите все сюръективные функции $f:\mathbb N\to\mathbb N$ такие, что для любого свободного от сумм подмножества $A$ множества $\mathbb N$ его образ $\{f(a):a\in A\}$ является свободным от сумм.
Примечание. Функция $f:\mathbb N\to\mathbb N$ называется сюръективной, если для любого положительного целого числа $n$ найдется положительное целое число $m$ такое, что $f(m)=n$.

@темы: Теория чисел

---

Милые дамы!

[All_ex]

Дорогие наши дамы, женщины, девушки!

От лица сообщества поздравляю вас с 8 Марта!
Здоровья Вам, счастья и радости побольше!...

...

@темы: Праздники

---

Олимпиада в ДНР

[wpoms.]

Донецкая народная республика, 2019/20 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

---

RMM 2020, P3

[wpoms.]

Дано целое число $n\ge 3.$ В стране есть $n$ аэропортов и $n$ авиакомпаний, выполняющих двусторонние полеты. Для каждой авиакомпании есть нечетное число $m\ge 3$ и $m$ различных аэропортов $c_1, ..., c_m$ таких, что авиакомпания выполняет полеты только между указанными парами аэропортов: $c_1$ и $c_2;$ $c_2$ и $c_3;$ ...; $c_{m-1}$ и $c_m;$ $c_m$ и $c_1.$ Докажите, что есть замкнутый маршрут, состоящий из нечетного количества полетов, такой, что никакие два полета не выполняются одной и той же авиакомпанией.

@темы: Комбинаторика

---

RMM 2020, P2

[wpoms.]

Даны целое число $N \geq 2$ и первые члены последовательностей неотрицательных целых чисел $\mathbf a:$ $(a_1, \ldots, a_N)$ и $\mathbf b:$ $(b_1, \ldots b_N).$ Пусть для каждого целого положительного числа $i \not \in \{1, \ldots, N\}$ выполняются равенства $a_i = a_k$ и $b_i = b_k$, где $k \in \{1, ..., N\}$ и $i-k$ делится на $n.$ Скажем, что $\mathbf a$ является $\mathbf b$-гармонической, если каждое $a_i$ равно \( \frac{1}{2b_i+1} \sum\limits_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}. \) Пусть последовательности $\mathbf a $ и $\mathbf b$ не являются постоянными, $\mathbf a$ является $\mathbf b$-гармонической и $\mathbf b$ является $\mathbf a$-гармонической. Докажите, что по крайней мере $N+1$ из чисел $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ равно нулю.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

RMM 2020, P1

[wpoms.]

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $I$ обозначает центр его вписанной окружности $\omega,$ а $D$ - основание высоты, проведенной из вершины $C.$ Окружность $\omega$ касается сторон $BC,$ $CA$ и $AB$ соответственно в точках $A_1,$ $B_1$ и $C_1.$ Точки $E$ и $F$ симметричны точке $C$ относительно прямых $C_1A_1$ и $C_1B_1$, соответственно. Точки $K$ и $L$ симметричны точке $D$ относительно прямых $C_1A_1$ и $C_1B_1$, соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_1EI,$ $B_1FI$ и $C_1KL$ имеют общую точку.

@темы: Планиметрия

---

Доказать неравенство

[wpoms.]

Пусть `a,b,c > 0` и `abc \ge 1`. Докажите, что `(1)/(a^2+2b^2+3) + (1)/(b^2+2c^2+3) + (1)/(c^2+2a^2+3) \le 1/2.`

@темы: Доказательство неравенств

---

North Mathematics Star of Hope Invitational 2019

[wpoms.]

1. Найдите все положительные целые числа $x,y,$ удовлетворяющие равенству: $3^x+x^4=y!+2019.$

2. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A,B.$ Диаметр $AC$ окружности $O_1$ пересекает $O_2$ в точке $E,$ диаметр $AD$ окружности $O_2$ пересекает $O_1$ в точке $F.$ $CF$ пересекает $O_2$ в точке $H,$ $DE$ пересекает $O_1$ в точках $G,H,$ $GH$ пересекает $O_1$ в точке $P.$ Докажите, что $PH=PK.$

3. Даны целое число $n$ ($n\geq2$) и действительные числа $a_1,a_2,...,a_n$ такие, что для всех $i = 1, 2, ..., n$ выполняются условия \[ a_i \neq -1, a_{i+2} = \frac{a_i^2+a_i}{a_{i+1}+1}. \] Докажите, что $a_1 = a_2 = ... = a_n.$
Примечание. $a_{n+1}=a_1,$ $a_{n+2}=a_2.$

4. Менеджер руководит работой 8 сотрудников. Однажды он провел несколько встреч с сотрудниками.
(1) Каждая встреча длилась один час. Между встречами не было перерывов.
(2) На каждой встрече присутствовали трое сотрудников.
(3) Любые два сотрудника по крайней мере один раз присутствовали на одной и той же встрече.
(4) Любой сотрудник не мог уйти с работы до завершения всех встреч с его участием.
Сколько времени мог провести на работе сотрудник, которых принял участие в наибольшем количестве встреч?

5. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A, B.$ Биссектриса внешнего угла $\angle O_1AO_2$ пересекает $O_1$ в $C,$ $O_2$ в $D.$ Точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$, $CP\cap O_1=E,$ $DP\cap O_2=F.$ Докажите, что $PE=PF.$

6. Пусть $a,b,c,x,y,z$ являются неотрицательными действительными числами и $a+b+c = x+y+z = 1.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $(a-x^2)(b-y^2)(c-z^2).$

7. В стране есть $n$ городов. Все расстояния между парами городов различны. Король нумерует города и устанавливает двусторонние авиалинии между городами так: сначала он соединяет линией город 1 и ближайший к нему город; затем он соединяет линией город 2 и второй по близости к нему город; ... . Наконец, на $n-1$ шаге, он соединяет линией город с номером $n-1$ и самый далекий от него город. Докажите, что король может пронумеровать города так, чтобы он мог добраться из любого города страны в любой другой город на самолете.

8. Для положительного целого числа $n$ определим $f(n)$ как наименьшее положительное число, которое не делит $n.$
Рассмотрим последовательность $(a_n)$: $a_1 = a_2 = 1,$ $a_n = a_{f(n)}+1$ ($n\geq3$). Например, $a_3 = a_2+1 = 2,$ $a_4 = a_3+1 = 3.$
(a) Докажите, существует положительное целое число $C$ такое, что для любого положительного целого числа $n$ выполняется неравенство $a_n\leq C.$
(b) Найдутся ли положительные целые числа $M$ и $T$ такие, что для любого положительного целого числа $n\geq M$ выполняется равенство $a_n = a_{n+T}.$

@темы: Олимпиадные задачи

---

Порядок действий

[rom7]

Ув, сообщество, кто скажет, как все правильно. Врод бы ответ 16 очевиден, но такие дискуссии....
24:6(8-4)

---

комбинаторика

[marina1987]

Помогите понять, в чем разница двух задач. Почему в одном случае сочетание, а в другом размещение.
Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену . Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?
Из семи различных книг выбирают четыре. Сколькими способами это можно сделать?
Спасибо большое

---

Значение выражения

[wpoms.]

Пусть числа $a,b,c$ удовлетворяю равенствам `b=(a+c)(a+1),` `a=(b+c)(c+1}),` `c=(a+b)(b+1).` Найдите все возможные значения выражения $(a+1)(b+1)(c+1).$

@темы: Олимпиадные задачи

---

Международная Жаутыковская олимпиада 2020

[wpoms.]

Натуральное число $n$ таково, что ни при каких натуральных $a$ и $b$ число $2^a3^b+1$ не делится на $n$. Докажите, что $2^c+3^d$ также не делится на $n$ ни при каких натуральных $c$ и $d$. %( А. Голованов )

В множестве из 20 элементов выбраны $2k+1$ различных семиэлементных подмножеств, каждое из которых пересекается ровно с $k$ другими выбранными подмножествами. При каком наибольшем $k$ это возможно? %( А. Голованов )

Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство $AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA.$ %( Н. Седракян )

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $CN$ — биссектриса. Прямая $CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $M$. Прямая $\ell$ параллельна прямой $AB$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$. Точка $R$ на прямой $\ell$ такова, что $CI \perp IR$. Описанная окружность треугольника $MNR$ вторично пересекает прямую $IR$ в точке $S$. Докажите, что $AS=BS$. %( М. Кунгожин )

Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию $f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых $x$ и $y$. %( И. Воронович )

На доске $n\times n$ ($n>2$) некоторые клетки чёрные, а остальные белые. В каждой белой клетке записано количество чёрных клеток, имеющих с ней хотя бы одну общую вершину. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех записанных чисел. %( Н. Седракян )

Результаты в личном зачете
Результаты в командном зачете
Задачи и решения

@темы: Новости

---

Taumatawhakatangihangakoauauotamateaturipukakapikimaungahoronukupokaiwhenuakitanatahu

[wpoms.]

Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке X. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, прямые PX и AD пересекаются в точке Q, углы ABX и XCD прямые. Докажите, что QP является биссектрисой угла BQC.

@темы: Планиметрия

---

Комплекты заданий,

[wpoms.]

предлагавшихся семиклассникам на муниципальном этапе в этом учебном году

@темы: Головоломки и занимательные задачи