Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27?
Чтобы пронумеровать страницы научной работы потребовалось 3389 цифр. Сколько страниц в этой работе?
Когда расстояние между собакой и лисицей было 120 м, собака кинулась догонять лисицу. Через какое время собака догонит лисицу, если лисица пробегает за минуту 320 м, а собака --- 350 м?
На прямой отметили точки $A,$ $B$ и $C$ так, что $AB=20$ см, $BC=10$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC.$
Данил придумал правило, по которому выписывал в ряд числа. В его ряду первыми были числа 5, 12, 26, 47, ... Какими, как вы думаете, должны быть два следующих числа?
В школе прошли три олимпиады. Выяснилось, что в каждой из них принимали участие по 50 учащихся. При этом 60 учащихся приходили только на одну олимпиаду, а 30 --- на две. Сколько учащихся принимали участие в трех олимпиадах?
Решите уравнение $(x-3)(|x|-2) = 0.$
На сколько процентов изменится произведение двух положительных чисел, если первое число уменьшить на 20\%, а второе увеличить на 20\%?
Коробку, размер которой $30 \times 30 \times 50,$ необходимо наполнить одинаковыми кубиками. Найти минимальное количество кубиков, которое позволит это сделать?
Для нумерации страниц словаря потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в словаре?
Когда турист прошёл 1 км и половину остатка, то ему осталось пройти 1/3 всего пути и ещё 1 км. Определить весь путь.
В треугольнике $ABC$ биссектриса из вершины $A,$ высота из вершины $B$ и серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекаются в одной точке. Найдите величину угла $A.$
Решите уравнение $|2|x-1| - 3| = 5.$
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
На плоскости произвольно расположены шесть точек (никакие три из них не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком или красного, или синего цвета. Доказать, что найдется треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого имеют один цвет.
Целые числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ удовлетворяют соотношению $\frac{a-b}{c-d} = \frac{a+b}{c+d}.$ Может ли произведение $abcd$ равняться 1000?
Натуральные числа $n$ и $m$ таковы, что $(4m - n)(n + m) = 6m^2.$ Докажите, что $n$ кратно $m.$
Пусть $BB_1$ и $CC_1$ --- высоты остроугольного треугольника $ABC$ с углом $A,$ который равен $30^\circ,$ $B_2$ и $C_2$ --- середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что отрезки $B_1C_2$ и $B_2C_1$ перпендикулярны.
В бесконечном городе все кварталы --- квадраты одного размера. Велосипедист стартовал с перекрестка. Через полминуты за ним поехал другой велосипедист. Каждый едет с постоянной скоростью 1 квартал в минуту и на каждом перекрестке поворачивает либо направо, либо налево. Могут ли они встретиться?
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC,$ $AC = 10 $см. Из середины $D$ стороны $AB$ проведён перпендикуляр $DE$ к стороне $AB$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $E.$ Периметр треугольника $ABC$ равен 40 см. Найдите периметр треугольника $AEC.$
Какое число меньше $\sqrt{2018} + \sqrt{2020}$ или $2\sqrt{2019}?$
Доказать, что сумма двух простых чисел делится на 12, если их разность равна 2, а меньшее число больше 3.
$P(x)$ --- многочлен четвертой степени такой, что $P(1)=P(-1)$ и $P(2)=P(-2).$ Докажите, что $P(x)=P(-x)$ для любого $x.$
В трапеции $ABCD$ длина основания $AD$ равна $2\sqrt{2},$ а длина основания $BC$ равна $\sqrt{2}.$ $\angle A = 15^\circ,$ $\angle D = 30^\circ.$ Найдите длину боковой стороны $AB.$
При каких значениях $a$ квадратные уравнения $x^2+ax+1=0$ и $x^2+x+a=0$ имеют общий корень?
Определите максимальное значение выражения $a^2+b^2,$ если известно, что $a^2+b^2+ab = a+b.$
Найдите сумму $\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx},$ если известно, что $xyz=1.$
В одном магазине цены уменьшили на 10%, а потом еще на 10%. А в другом магазине цены снизили на 20%. Что выгоднее для покупателя?
Что больше $2^{300}$ или $3^{200}?$
Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11.
Известно, что $a + b = 5,$ $ab = 4.$ Найдите значение выражения $a^3+b^3.$
В прямоугольной комнате имеются 10 стульев. Расставьте их так, чтобы вдоль каждой стены стояло равное количество стульев.
Разложить на множители $(a+b)^2 - (c+d)^2 + (a+c)^2 - (b+d)^2.$
В треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $C$ на $30^\circ.$ Точка $K$ лежит на стороне $AC,$ $AB = BK.$ Определить угол $KBC.$
Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.
По кругу стоят 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец (лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду). Каждый из стоявших сказал: «У меня есть сосед лжец». Найдите минимальное возможное число лжецов среди этих 100 человек.
Вычислить значение выражения $\sqrt{11+6\sqrt{2}} + \sqrt{11-6\sqrt{2}}.$
При каких целых значениях $a$ уравнение $x(a-1)^2 = (a+4)(a-1)$ имеет целые решения?
Разложите на множители $x^5+x+1.$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) провели медиану $CC_1$ и биссектрису $AA_1.$ Найдите величину угла $ACB,$ если $AA_1 = 2CC_1.$
В каждой клеточке доски $5\times5$ сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседнюю клетку (соседними считаются те, которые имеют общую сторону). Докажите, что после того как все жуки переползут, найдется клеточка, на которой будут сидеть по крайней мере два жука.
Известно, что $x^2 + y^2 +\frac{1}{2} \le x + y.$ Доказать, что $x+y = 1.$
Точка $F$ --- середина стороны $BC$ квадрата $ABCD.$ К отрезку $DF$ проведен перпендикуляр $AE.$ Найдите угол $CEF.$
Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Найдите 2020-й член последовательности.
Пусть $x$ и $y$ --- любые действительные числа. Докажите, что \[ (x^2-x+1) (y^2-y+1) \ge 2(x+y)(x-1)(y-1) .\] При каких значениях $x$ и $y$ достигается знак равенства?
Доказать, что если $\cos x \ne 0,$ то $\left|\frac{\cos 2x+3}{\cos x}\right| \ge 4.$
Функция $f(x)$ имеет вид $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d},$ где $a,$ $b,$ $c,$ $d$ --- некоторые числа. Известно, что $f(0)=1,$ $f(1)=0,$ $f(2)=3.$ Чему равно $f(3)?$
В квадрате, размером $9\times9$ клеток, некоторые клетки закрасили в красный цвет, некоторые другие в зеленый, а некоторые оставили незакрашенными. Оказалось, что если шахматный король пройдет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то он обязательно пройдет и через красную и через зеленую клетки. (За один ход короля можно поставить на клетку, имеющую с данной хотя бы одну общую точку.) Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть в квадрате?
-
-
07.03.2020 в 23:366 класс
Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27?
Чтобы пронумеровать страницы научной работы потребовалось 3389 цифр. Сколько страниц в этой работе?
Когда расстояние между собакой и лисицей было 120 м, собака кинулась догонять лисицу. Через какое время собака догонит лисицу, если лисица пробегает за минуту 320 м, а собака --- 350 м?
На прямой отметили точки $A,$ $B$ и $C$ так, что $AB=20$ см, $BC=10$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC.$
Данил придумал правило, по которому выписывал в ряд числа. В его ряду первыми были числа 5, 12, 26, 47, ... Какими, как вы думаете, должны быть два следующих числа?
-
-
07.03.2020 в 23:37В школе прошли три олимпиады. Выяснилось, что в каждой из них принимали участие по 50 учащихся. При этом 60 учащихся приходили только на одну олимпиаду, а 30 --- на две. Сколько учащихся принимали участие в трех олимпиадах?
Решите уравнение $(x-3)(|x|-2) = 0.$
На сколько процентов изменится произведение двух положительных чисел, если первое число уменьшить на 20\%, а второе увеличить на 20\%?
Коробку, размер которой $30 \times 30 \times 50,$ необходимо наполнить одинаковыми кубиками. Найти минимальное количество кубиков, которое позволит это сделать?
Для нумерации страниц словаря потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в словаре?
-
-
07.03.2020 в 23:38Когда турист прошёл 1 км и половину остатка, то ему осталось пройти 1/3 всего пути и ещё 1 км. Определить весь путь.
В треугольнике $ABC$ биссектриса из вершины $A,$ высота из вершины $B$ и серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекаются в одной точке. Найдите величину угла $A.$
Решите уравнение $|2|x-1| - 3| = 5.$
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
На плоскости произвольно расположены шесть точек (никакие три из них не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком или красного, или синего цвета. Доказать, что найдется треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого имеют один цвет.
-
-
07.03.2020 в 23:39Доказать равенство: $\sqrt{5+\sqrt{24}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}.$
Целые числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ удовлетворяют соотношению $\frac{a-b}{c-d} = \frac{a+b}{c+d}.$ Может ли произведение $abcd$ равняться 1000?
Натуральные числа $n$ и $m$ таковы, что $(4m - n)(n + m) = 6m^2.$ Докажите, что $n$ кратно $m.$
Пусть $BB_1$ и $CC_1$ --- высоты остроугольного треугольника $ABC$ с углом $A,$ который равен $30^\circ,$ $B_2$ и $C_2$ --- середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что отрезки $B_1C_2$ и $B_2C_1$ перпендикулярны.
В бесконечном городе все кварталы --- квадраты одного размера. Велосипедист стартовал с перекрестка. Через полминуты за ним поехал другой велосипедист. Каждый едет с постоянной скоростью 1 квартал в минуту и на каждом перекрестке поворачивает либо направо, либо налево. Могут ли они встретиться?
-
-
07.03.2020 в 23:40Решите неравенство: $|x-1| + |x+1| < 4.$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC,$ $AC = 10 $см. Из середины $D$ стороны $AB$ проведён перпендикуляр $DE$ к стороне $AB$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $E.$ Периметр треугольника $ABC$ равен 40 см. Найдите периметр треугольника $AEC.$
Какое число меньше $\sqrt{2018} + \sqrt{2020}$ или $2\sqrt{2019}?$
Доказать, что сумма двух простых чисел делится на 12, если их разность равна 2, а меньшее число больше 3.
$P(x)$ --- многочлен четвертой степени такой, что $P(1)=P(-1)$ и $P(2)=P(-2).$ Докажите, что $P(x)=P(-x)$ для любого $x.$
-
-
07.03.2020 в 23:41Вычислите: $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ.$
В трапеции $ABCD$ длина основания $AD$ равна $2\sqrt{2},$ а длина основания $BC$ равна $\sqrt{2}.$ $\angle A = 15^\circ,$ $\angle D = 30^\circ.$ Найдите длину боковой стороны $AB.$
При каких значениях $a$ квадратные уравнения $x^2+ax+1=0$ и $x^2+x+a=0$ имеют общий корень?
Определите максимальное значение выражения $a^2+b^2,$ если известно, что $a^2+b^2+ab = a+b.$
Найдите сумму $\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx},$ если известно, что $xyz=1.$
-
-
07.03.2020 в 23:427 класс
В одном магазине цены уменьшили на 10%, а потом еще на 10%. А в другом магазине цены снизили на 20%. Что выгоднее для покупателя?
Что больше $2^{300}$ или $3^{200}?$
Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11.
Известно, что $a + b = 5,$ $ab = 4.$ Найдите значение выражения $a^3+b^3.$
В прямоугольной комнате имеются 10 стульев. Расставьте их так, чтобы вдоль каждой стены стояло равное количество стульев.
-
-
07.03.2020 в 23:43Упростить выражение: $\sqrt{5+\sqrt{24}} - \sqrt{5-\sqrt{24}}.$
Разложить на множители $(a+b)^2 - (c+d)^2 + (a+c)^2 - (b+d)^2.$
В треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $C$ на $30^\circ.$ Точка $K$ лежит на стороне $AC,$ $AB = BK.$ Определить угол $KBC.$
Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.
По кругу стоят 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец (лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду). Каждый из стоявших сказал: «У меня есть сосед лжец». Найдите минимальное возможное число лжецов среди этих 100 человек.
-
-
07.03.2020 в 23:43Вычислить значение выражения $\sqrt{11+6\sqrt{2}} + \sqrt{11-6\sqrt{2}}.$
При каких целых значениях $a$ уравнение $x(a-1)^2 = (a+4)(a-1)$ имеет целые решения?
Разложите на множители $x^5+x+1.$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) провели медиану $CC_1$ и биссектрису $AA_1.$ Найдите величину угла $ACB,$ если $AA_1 = 2CC_1.$
В каждой клеточке доски $5\times5$ сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседнюю клетку (соседними считаются те, которые имеют общую сторону). Докажите, что после того как все жуки переползут, найдется клеточка, на которой будут сидеть по крайней мере два жука.
-
-
07.03.2020 в 23:44Решите уравнение $(x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 1320.$
Известно, что $x^2 + y^2 +\frac{1}{2} \le x + y.$ Доказать, что $x+y = 1.$
Точка $F$ --- середина стороны $BC$ квадрата $ABCD.$ К отрезку $DF$ проведен перпендикуляр $AE.$ Найдите угол $CEF.$
Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Найдите 2020-й член последовательности.
Пусть $x$ и $y$ --- любые действительные числа. Докажите, что \[ (x^2-x+1) (y^2-y+1) \ge 2(x+y)(x-1)(y-1) .\] При каких значениях $x$ и $y$ достигается знак равенства?
-
-
07.03.2020 в 23:45Решите уравнение $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1.$
Доказать, что если $\cos x \ne 0,$ то $\left|\frac{\cos 2x+3}{\cos x}\right| \ge 4.$
Функция $f(x)$ имеет вид $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d},$ где $a,$ $b,$ $c,$ $d$ --- некоторые числа. Известно, что $f(0)=1,$ $f(1)=0,$ $f(2)=3.$ Чему равно $f(3)?$
$ABC$ --- равнобедренный треугольник ($AC=BC$). Биссектриса угла $A$ вдвое длиннее биссектрисы угла $C.$ Найдите углы треугольника.
В квадрате, размером $9\times9$ клеток, некоторые клетки закрасили в красный цвет, некоторые другие в зеленый, а некоторые оставили незакрашенными. Оказалось, что если шахматный король пройдет с любой незакрашенной клетки до любой другой незакрашенной клетки, то он обязательно пройдет и через красную и через зеленую клетки. (За один ход короля можно поставить на клетку, имеющую с данной хотя бы одну общую точку.) Какое наибольшее количество незакрашенных клеток могло быть в квадрате?
-
-
08.03.2020 в 01:39-
-
31.10.2020 в 20:12