В каждой ячейке таблицы $3 \times 3$ записано действительное число. Число в стоящей на пересечении $i$-ой строки и $j$-го столбца клетке равно модулю разности суммы чисел в столбце $j$ и суммы чисел в строке $i.$ Докажите, все числа в таблице равны сумме или разности двух других чисел таблицы. |  |
Пусть $a,b,c,d,e$ — положительные числа, ограниченные значениями $p$ и $q$, т.е., они лежат в $[p,q], 0 < p,$. Докажите, что $(a+b +c +d +e)\left(\frac{1}{a} +\frac {1}{b} +\frac{1}{c} + \frac{1}{d} +\frac{1}{e}\right) \le 25 + 6\left(\sqrt{\frac {p}{q}} - \sqrt {\frac{q}{p}}\right)^2$ и определите, когда выполняется равенство. |  |
Придумал следующую задачу.
В каждый момент времени на листочке бумаги в клетку мы можем случайно выбрать одно из четырёх направлений и сделать шаг к узлу рядом.
Далее операция повторяется и так до бесконечности.
За сколько в среднем шагов мы удалимся
1) на расстояние N клеток (N - целое) по одной из координат от начальной точки?
2) выйдем за пределы окружности радиуса R с центром в точке старта (в смысле обычного расстояния на плоскости)?
Как изменится ответ, если случайно можно будет выбирать не четыре направления, а три (запрет на возврат)?
Докажите, что если противоположные стороны непланарного четырехугольника (четырехугольника, вершины которого не лежат в одной плоскости) равны, то линия, соединяющая середины двух диагоналей, перпендикулярна этим диагоналям, и наоборот, если линия, соединяющая середины двух диагоналей непланарного четырехугольника перпендикулярна этим диагоналям, то противоположные стороны четырехугольника равны. | |
Пусть $a$ и $b$ являются корнями уравнения $x^4+x^3-1=0$. Докажите, что $ab$ — корень уравнения $x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$. | |
$ABC$ и $A'B'C'$ — два треугольника, лежащих в одной плоскости, такие, что прямые $AA',BB',CC'$ попарно параллельны. Пусть $[ABC]$ обозначает площадь треугольника $ABC$ с соответствующим знаком $\pm,$ и т.д. * Докажите, что $3([ABC]+ [A'B'C']) = [AB'C'] + [BC'A'] + [CA'B']+ [A'BC]+[B'CA] + [C'AB].$ *Напомним читателю, что знак [ABC] определяется следующим образом. Думая о плоскости как о поверхности непрозрачной бумаги, будем считать, что положительным является вращение на ней против часовой стрелки. Тогда вращение треугольника [ABC] будет положительным, если перемещение вокруг треугольника в направлении А - В - С - А происходит против часовой стрелки, и будет отрицательным, если это перемещение происходит по часовой стрелке. | |
Найдите все такие пары целых положительных чисел $(m,n)$, что выражение $(1+x^n+x^{2n}+\cdots+x^{mn})$ делится на $(1+x+x^2+\cdots+x^{m})$. | |
В компании, управляемой несколькими директорами, есть сейф, закрываемый на шесть замков. У каждого директора есть три ключа, которыми он может открыть три разные замка. Каждый ключ может открыть ровно один замок. Нет двух директоров, ключи которых могут открыть одни и те же три замка, и никакие два директора не могут вместе открыть сейф. Сколько директоров работают в компании? |  |
