Куба

[wpoms]

Куба Soledad Bravo - Hasta siempre OLIMPIADAS POPULARES Y CONCURSOS NACIONALES

@темы: Олимпиадные задачи, Ссылки

Comments

[wpoms.]

Финал национального конкурса, 2001

Первый день, задания 10-12 классов

1. В каждой ячейке таблицы $3 \times 3$ записано действительное число. Число в стоящей на пересечении $i$-ой строки и $j$-го столбца клетке равно модулю разности суммы чисел в столбце $j$ и суммы чисел в строке $i.$ Докажите, все числа в таблице равны сумме или разности двух других чисел таблицы.
обсуждение

2. Пусть точка $M$ принадлежит диагоналям $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD.$ Точка $K$ лежит на продолжении стороны $AB$ (за точку $A$) и биссектрисе $\angle ACD.$ Пусть $MA \cdot MC + MA \cdot CD = MB \cdot MD.$ Покажите, что $\angle BKC = \angle CDB.$
обсуждение

3. Пусть $n$ --- целое положительное число.
a) Докажите, что $(2n+1)^3 - (2n-1)^3$ можно представить в виде суммы трёх квадратов целых чисел.
b) Докажите, что $(2n+1)^3-2$ можно представить в виде суммы $3n-1$ квадратов целых чисел больших 1.
обсуждение

Второй день

10 класс

1. Пусть $f$ --- линейная функция такая, что $f(0) = -5$ и $f(f(0)) = -15.$ Найдите $k \in \R$ такое, что решением неравенства $f(x) \cdot f(k-x) > 0,$ будет интервал длины 2.
обсуждение

2. Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $BC$ y $CD$ соответственно выбраны точки $M$ и $K$ так, что $MC = KD.$ Точка $P$ принадлежит отрезкам $MD$ и $BK.$ Докажите, что $AP\perp MK.$
обсуждение

3. Докажите, что не существует натурального числа $n$ такого, что сумма всех цифр числа $m,$ где $m = n(2n-1)$, равна 2000.
обсуждение


11 класс

1. Касательные, проведенные из четырех различных точек к дуге окружности меньшей $180^\circ$, формируют выпуклый четырёхугольник $ABCD.$
Докажите, что две его вершины принадлежат эллипсу, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами.
обсуждение

2. 2. Пусть $p$ и $q$ --- два целых положительных числа таких, что $1 \leq q \leq p$ и $a = ( p + \sqrt{p^2 + q} )^2.$
a) Докажите, что число $a$ иррационально.
b) Покажите, что ${a} > 0,75.$
обсуждение

3. Корни уравнения $ax^2 - 4bx + 4c = 0$ при $a > 0$ принадлежат интервалу $[2, 3].$ Докажите, что:
a) $a \leq b \leq c < a + b.$
b) $\dfrac{a}{a+c} + \dfrac{b}{b+a} > \dfrac{c}{b+c}.$}
обсуждение


12 класс

1. Покажите, что уравнение $x^{19} + x^{17} = x^{16} + x^7 + a$ при всех $a \in \R$ имеет по крайней мере два мнимых корня.
обсуждение

2. Найдите все действительные решения уравнения $x + \cos x = 1.$
обсуждение

3. В треугольнике $ABC,$ с прямым углом $C,$ точка $F$ является общей для высоты $CD$ и биссектрисы $AE$, а точка $G$ лежит на $ED$ и $BF.$ Докажите, что площадь четырёхугольника $CEGF$ равна площади треугольника $BDG.$
обсуждение