Вокруг мяча - 14

[wpoms.]

Окружность `omega` описана около треугольника `ABC,` `I` - центр вписанной окружности треугольника `ABC,` касательная к окружности `omega,` проходящая через точку `C,` пересекает прямую `AB` в точке `D,` прямые `AI` и `BI` пересекают биссектрису угла `CDB` в точках `E` и `F,` соответственно, точка `M` - середина `AB.`
Докажите, что прямая `MI` проходит через середину дуги `ACB.`



Примечание. В условии имеется опечатка. Точка M - середина отрезка FE.

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 13

[wpoms.]

В треугольнике `ABC` точка `D` является серединой гипотенузы `AB.` Окружность `k` описана около треугольника `BCD,` точка `E` лежит на меньшей дуге `BD.` На прямой `BC` выбрана точка `F` так, что точка `B` находится между точками `C` и `F` и `/_ BEF = 2/_BAF.` Окружность `k_1` описана около треугольника `CEF.`
Докажите, что одна из общих касательных окружностей `k` и `k_1` пролази через тачку `D.`

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 12

[wpoms.]

Пусть `M` - середина стороны `BC` треугольника `ABC,` а `H` - его ортоцентр. Биссектриса угла `C` пересекает прямую `AH` в точке `T.` Пусть `MH` параллельна `CT.`
Докажите, что `BH = HT.`

@темы: Планиметрия

---

Задача про оператор

[MestnyBomzh]

Линейный оператор `A`: `RR^n to RR^n` таков, что `A^3` - проектор.
1) Какие собственные значения может иметь `A`?
2) Верно ли, что `A` будет иметь диагнональную матрицу в каком-либо базисе `RR^n`

Моя попытка решения п.1
По определению, проектора: `A^6 = A^3`. В то же время по определению союственного числа: `A x = lambda x` => `A^6 x = lambda^6 x` и `A^3 x= lambda^3 x => lambda^6-lambda^3 = 0 Leftrightarrow lambda = 0, lambda = 1`, кратность корней 3
Моя попытка решения п.2
Здесь, к сожалению, не все лямбды различны, значит возможна ситуация, когда собсвтенных векторов может быть недостаточно и собственный базис не будет существовать. Тут как-то надо найти собсветнные вектора?

@темы: Линейная алгебра

---

Вокруг мяча - 11

[wpoms.]

Окружность `k` с центром `I` вписана в треугольник `ABC,` она касается сторон `BC,` `CA` и `AB` в точках `D,` `E,` `F` соответственно, прямая `AI` пересекается с окружностью `k` в точке `G,` лежащей между точками `A` и `I,` прямые `BE` и `FG` параллельны.
Докажите, что `BD = EF.`

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 10

[wpoms.]

Точка `T` расположена на отрезке `AB` ближе к точке `B.` Покажите,
(1) что для каждой точки `C,` отличной от `T,` принадлежащей перпендикуляру к отрезку `AB,` проходящему через точку `T,` существует ровно одна точка `D` на отрезке `AC` такая, что `/_ CBD = /_ BAC,` и
(2) что перпендикуляры к отрезку `AC,` проведенные через точку `D,` всегда проходят через одну и ту же точку `E` прямой `AB,` вне зависимости от выбора точки `C.`

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 9

[wpoms.]

В неравнобедренном треугольнике `ABC` угол `C` прямой, `k` его описанная окружность, `D` - точка пересечения прямой `AB` и касательной к `k,` проходящей через точку `C,` прямая `g` перпендикулярна `AB` и проходит через точку `D,` `E` - точка пересечения `g` с прямой `AC,` `F` - точка пересечения `g` с прямой `BC.`
Докажите, что `D` является серединой отрезка `EF.`

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 8

[wpoms.]

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, AC и BE пересекаются в точке S, AD и BE пересекаются в точке R, CA и BD пересекаются в точке T, CE и BD пересекаются в точке P, CE и AD пересекаются в точке Q, площади треугольников ASR, BTS, CPT, DQP и ERQ равны 1.
(1) Найдите площадь PQRST.
(2) Найдите площадь ABCDE.

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 7

[wpoms.]

Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна 1, точка D лежит на стороне BC, `r_1,` `r_2` - длины радиусов вписанных окружностей треугольников ABD и ADC. Выразите `r_1r_2` как функцию от `p = BD` и найдите максимальное значение `r_1r_2.`

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 6

[wpoms.]

В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, окружность, проходящая через точки B, H и C, пересекает прямую AB в точке D, а прямую AC в точке E, отрезок DE пересекает HB в точке P, а HC в точке Q, точки X и Y, отличные от A, лежат на прямых AP и AQ соответственно, точки X, H, A, B лежат на одной окружности, точки Y, H, A, C лежат на одной окружности.
Докажите, что прямые XY и BC параллельны.

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 5

[wpoms.]

Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB < AC, биссектриса угла BAC пересекает BC в точке D, точка M является серединой BC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников ABC и ADM, параллельна AD.

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 4

[wpoms.]

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, |AE| + |BD| = |AB|.
Докажите, что `/_ C = 60^@.`

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 3

[wpoms.]

Окружность omega касается сторон AB и AC треугольника ABC. Окружность Omega касается стороны AC и продолжения стороны AB за точку B, а также касается omega в точке L, лежащей на стороне BC. Прямая AL вторично пересекает omega и Omega в точках K и M соответственно. Оказалось, что KB || CM. Докажите, что треугольник LCM равнобедренный.

Исправленное условие:

Точка O --- центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M лежит на стороне AB, описанная окружность треугольника AMO пересекает повторно прямую AC в точке K, описанная окружность треугольника BOM пересекает повторно прямую BC в точке N.
Докажите, что Площадь (MNK) `>= 1/4` Площади (ABC), и определите, в каких случаях достигается равенство.

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 2

[wpoms.]

Точки D, E, F симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и DEF равны.

@темы: Планиметрия

---

Вокруг мяча - 1

[wpoms.]

Периметр треугольника `ABC` равен 100, его биссектрисы пересекаются в точке `I,` точка `M` является серединой стороны `BC,` прямая, параллельная `AB` и проходящая через точку `I,` пересекает медиану `AM` в точке `P,` `AP:PM = 7:3.` Найдите длину стороны `AB.`

@темы: Планиметрия

---

Линейная зависимость/независимость определителей и СЧ

[MestnyBomzh]

Добрый день. Могли бы проверить задачу (пункты 2, 3), а также сказать, верно ли моё утверждение в п. 1 ?
1) Верно ли, что если у нас есть матрица `X` и известны её СЧ `lambda_1..lambda_n`, то для матрицы `X-m*E` собственные числа `lambda_1-m, ..., lambda_n-m`?
И следует это из представления матрицы в собственном базисе?
Дальше сама задача:
2) Задача: доказать, что функции `det(X), det(X-E), det(X+E)` на пространстве комплексных матриц 3x3 линейно независимы.
Я сначала говорю, что если мы представим матрицу `X` в собственном базисе, то её определитель не поменяется, поэтому `det(X) = lambda_1 * lambda_2 * lambda_3`
Значит `det(X-E) = (lambda_1-1) * (lambda_2-1) * (lambda_3-1)` Аналогично `det(X+E)= (lambda_1+1) * (lambda_2+1) * (lambda_3+1)`
Дальше я просто составляю систему: `c_1 * det(X) + c_2 * det(X+E) + c_3 * det(X-E)=0`, решаю систему, получаю нетривиальное решение => доказано
3) Докажите, что найдется такое натруальное `m`, что `det(X-mE), det(X-(m-1)E)...det(X+mE)` линейно зависимы (матрица X - по-прежнему 3x3). Тут я просто взял m=4, выписал как и в пункте a) и получил, что система имеет только решение `c_i=0`

@темы: Линейная алгебра

---

Двадцать одно

[wpoms.]

Есть 40 карточек, на двух из них написано число 1, еще на двух --- число 2, \ldots, еще на двух --- число 20. Какое наибольшее возможное количество комплектов возможно одновременно создать из этих 40 карточек так, чтобы в каждом комплекте было три карточки и сумма всех чисел комплекта была равна 21?

@темы: Теория чисел

---

Задача на преобразование координат,нахождение фокусов,кривой

[chenia]

Вот есть задача. Я ее решил, но проблема в том, что не могу ответить преподавателю на вопрос "зачем переименовал координаты?"

@темы: Матрицы, Линии второго порядка

---

Задача про функцию

[MestnyBomzh]

Пусть `f` - гладкая, вещественная функция, причем `f(0)=0, f(1)=1`. Докажите, что найдутся различные `x_1, x_2 in [0;1]`, для которых : `1/{f'(x_1)} + 1/{f'(x_2)} = 2`

По опыту решения таких задач много раз видел, как начинают рассматривать некоторую функцию. Здесь первое, что пришло в голову, рассмотреть функцию `F = x * (f(x)-1)`
Тогда получается, что `F(0)=0, F(1)=0`. Значит на промежутке `[0;1]` есть точка, в которой производная равна нулю + на этом промежутке функция достигает своего максимального и минимального значения. Пока что дальше я не продвинулся с этим.
Ещё была идея как-то с выпуклостью/вогнутостью посмотреть...

@темы: Математический анализ

---

Кольца и поля

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Просто хотел уточнить кое-что по данным структурам. Слышал довольно краткое их описание - в кольцах можно складывать, вычитать и умножать, а в полях можно еще и делить. То есть получается, что относительно умножения есть обратный элемент в поле. Правильно ли я понимаю, что поле - это абелева группа по сложению и умножению, а кольцо - это абелева группа по сложению и полугруппа по умножению? Если есть единичный элемент по умножению, то это - моноид по умножению. Ну и еще иногда оно бывает коммутативным.

@темы: Линейная алгебра